Lời giải:

Quan sát đồng hồ ta thấy một vòng tròn theo chiều quay của kim phút được chia thành 12 phần bằng nhau.

a) Trên đồng hồ ở Hình 1.2, kim phút đang chỉ đúng số 2, để nó chỉ đúng số 12 khi quay kim phút theo chiều quay ngược chiều kim đồng hồ thì ta phải quay kim phút từ vị trí số 2 đến vị trí số 12 theo chiều ngược chiều kim đồng hồ, nghĩa là quay kim phút một khoảng bằng \(\frac{2}{{12}} = \frac{1}{6}\) vòng tròn.

b) Trên đồng hồ ở Hình 1.2, kim phút đang chỉ đúng số 2, để nó chỉ đúng số 12 khi quay kim phút theo chiều quay của chiều kim đồng hồ thì ta phải quay kim phút từ vị trí số 2 đến vị trí số 12 theo chiều quay của kim đồng hồ, nghĩa là quay kim phút một khoảng bằng \(\frac{{10}}{{12}} = \frac{5}{6}\) vòng tròn.

Lời giải:

a) Quan sát Hình 1.5 ta có:

sđ(Ou, Ov) = 30°;

sđ(Ov, Ow) = 45°;

sđ(Ou, Ow) = – (360° – 30° – 45°) = – 285°.

b) Ta có: sđ(Ou, Ov) + sđ(Ov, Ow) = 30° + 45° = 75°.

Lại có: – 285° + 1 . 360° = 75°.

Lời giải:

a) Ta có: \(360^\circ = 360 \cdot \frac{\pi }{{180}} = 2\pi \);

\( - 450^\circ = - 450 \cdot \frac{\pi }{{180}} = - \frac{{5\pi }}{2}\).

b) Ta có: \(3\pi = 3\pi \cdot \left( {\frac{{180}}{\pi }} \right)\begin{array}{*{20}{c}}^\circ \\{}\end{array} = 540^\circ \);

\( - \frac{{11\pi }}{5} = - \frac{{11\pi }}{5} \cdot \left( {\frac{{180}}{\pi }} \right)\begin{array}{*{20}{c}}^\circ \\{}\end{array} = - 396^\circ \).

Lời giải:

a) Theo lí thuyết ta có cung tròn có số đo bằng 1 rad nếu độ dài của nó đúng bằng bán kính R. Do đó, độ dài của cung tròn có số đo bằng 1 rad là R.

b) Vì độ dài của cung tròn có đo bằng 1 rad là R nên độ dài của cung tròn có số đo α rad là l = Rα.

Lời giải:

a) Ta có: sđ(OA, OM) = \(\frac{{5\pi }}{4} = \pi + \frac{\pi }{4}\).

Điểm M trên đường tròn sao cho sđ(OA, OM) = \(\frac{{5\pi }}{4}\) được xác định như trên hình vẽ dưới đây:

b) Ta có: sđ(OA, ON) = \( - \frac{{7\pi }}{4} = - \left( {\frac{{3\pi }}{4} + \pi } \right)\).

Điểm N trên đường tròn sao cho sđ(OA, ON) = \( - \frac{{7\pi }}{4}\) được xác định như trên hình vẽ dưới đây:

Lời giải:

a) Điểm M trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác có số đo bằng \(\frac{{5\pi }}{6}\) được xác định trong hình sau:

b) Ta có:

\(\cos \frac{{5\pi }}{6} = - \frac{{\sqrt 3 }}{2};\,\,\sin \frac{{5\pi }}{6} = \frac{1}{2}\);

*Phương pháp giải

 Sử dụng công thức tan bằng sin chia cos

Cot bằng cos chia sin

Xem thêm 

Lời giải:

Dùng máy tính cầm tay fx570 VN PLUS.

a) + Để tính \(\cos \frac{{3\pi }}{7}\) ta thực hiện bấm phím lần lượt như sau:

Màn hình hiện 0,222520934

Vậy \(\cos \frac{{3\pi }}{7}\) ≈ 0,222520934.

+ Để tính tan (– 37°25') ta thực hiện bấm phím lần lượt như sau:

Màn hình hiện – 0,76501876

Vậy tan (– 37°25') ≈ – 0,76501876.

b) Đổi 179°23'30" sang rađian ta thực hiện bấm phím lần lượt như sau:

Màn hình hiện 3,130975234

Vậy 179°23'30" ≈ 3,130975234 (rad).

 c) Đổi \(\frac{7}{9}\) (rad) sang độ ta thực hiện bấm phím lần lượt như sau:

Màn hình hiện 44°33'48,18"

Vậy \(\frac{7}{9}\) (rad) = 44°33'48,18".

Lời giải:

a) Theo định nghĩa, ta có: sin α = y, cos α = x.

Do đó, sin² α + cos² α = (sin α)² + (cos α)² = y² + x².

Từ hình vẽ ta thấy x² + y² = R² = 1 (theo định lí Pythagore và đường tròn đơn vị có bán kính R = 1).

Vậy sin² α + cos² α = 1.

b) Theo định nghĩa với \(\alpha \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\), ta có: \(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}\)

 \( \Rightarrow {\tan ^2}\alpha = {\left( {\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}} \right)^2} = \frac{{{{\sin }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }}\).

Do đó, \(1 + {\tan ^2}\alpha = 1 + \frac{{{{\sin }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} = \frac{{{{\cos }^2}\alpha + {{\sin }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\).

Vậy \(1 + {\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\).

Lời giải:

a) Giả sử M(x_M; y_M), N(x_N; y_N).

Từ Hình 1.12a, ta thấy hai điểm M và N đối xứng với nhau qua trục hoành Ox, do đó ta có: x_M = x_N và y_M = – y_N.

Theo định nghĩa giá trị lượng giác của một góc, ta lại có:

cos α = x_M và cos (– α) = x_N. Suy ra cos (– α) = cos α.

sin α = y_M và sin (– α) = y_N. Suy ra sin α = – sin (– α) hay sin (– α) = – sin α.

b) Ta có: \(\tan \left( { - \alpha } \right) = \frac{{\sin \left( { - \alpha } \right)}}{{\cos \left( { - \alpha } \right)}} = \frac{{ - \sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = - \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = - \tan \alpha \);

\(\cot \left( { - \alpha } \right) = \frac{{\cos \left( { - \alpha } \right)}}{{\sin \left( { - \alpha } \right)}} = \frac{{\cos \alpha }}{{ - \sin \alpha }} = - \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = - \cot \alpha \).

Vậy tan (– α) = – tan α; cot (– α) = – cot α.

Lời giải:

Ta có:

a) sin(– 675°) = sin(45° – 2 . 360°) = sin 45° = \(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\).

b) \(\tan \frac{{15\pi }}{4} = \tan \left( { - \frac{\pi }{4} + 4\pi } \right) = \tan \left( { - \frac{\pi }{4}} \right) = - \tan \frac{\pi }{4} = - 1\).

Lời giải:

a) Thời điểm 6 giờ sáng, tức t = 6, khi đó B(6) = 80 + 7sin\(\frac{{6\pi }}{{12}}\) = 87.

Vậy huyết áp tâm trương của người đó vào lúc 6 giờ sáng là 87 mmHg.

b) Thời điểm 10 giờ 30 phút sáng, tức t = 10,5, khi đó B(10,5) = 80 + 7sin\(\frac{{10,5\pi }}{{12}}\) ≈ 82,68.

Vậy huyết áp tâm trương của người đó vào lúc 10 giờ 30 phút sáng xấp xỉ 82,68 mmHg.

c) Thời điểm 12 giờ trưa, tức t = 12, khi đó B(12) = 80 + 7sin\(\frac{{12\pi }}{{12}}\) = 80.

Vậy huyết áp tâm trương của người đó vào lúc 12 giờ trưa là 80 mmHg.

d) Thời điểm 8 giờ tối hay 20 giờ, tức t = 20, khi đó B(20) = 80 + 7sin\(\frac{{20\pi }}{{12}}\) = \(\frac{{160 - 7\sqrt 3 }}{2}.\)

Lời giải:

Để hoàn thành bảng đã cho, ta thực hiện chuyển đổi từ độ sang rađian và từ rađian sang độ.

Ta có: 15° = 15 . \(\frac{\pi }{{180}}\) = \(\frac{\pi }{{12}}\);

0° = 0 . \(\frac{\pi }{{180}}\) = 0;

900° = 900 . \(\frac{\pi }{{180}}\) = 5π;

\(\frac{{3\pi }}{8} = \frac{{3\pi }}{8} \cdot \left( {\frac{{180}}{\pi }} \right)\begin{array}{*{20}{c}}^\circ \\{}\end{array} = 67,5^\circ \);

\( - \frac{{7\pi }}{{12}} = - \frac{{7\pi }}{{12}} \cdot \left( {\frac{{180}}{\pi }} \right)\begin{array}{*{20}{c}}^\circ \\{}\end{array} = - 105^\circ \);

\( - \frac{{11\pi }}{8} = - \frac{{11\pi }}{8} \cdot \left( {\frac{{180}}{\pi }} \right)\begin{array}{*{20}{c}}^\circ \\{}\end{array} = - 247,5^\circ \).

Vậy ta hoàn thành được bảng như sau:

Lời giải:

a) Vì 0 < α < \(\frac{\pi }{2}\) nên sin α > 0. Mặt khác, từ sin² α + cos² α = 1 suy ra

\(\sin \alpha = \sqrt {1 - {{\cos }^2}\alpha } = \sqrt {1 - {{\left( {\frac{1}{5}} \right)}^2}} = \frac{{2\sqrt 6 }}{5}\).

Do đó, \(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{{\frac{{2\sqrt 6 }}{5}}}{{\frac{1}{5}}} = 2\sqrt 6 \) và \(\cot \alpha = \frac{1}{{\tan \alpha }} = \frac{1}{{2\sqrt 6 }} = \frac{{\sqrt 6 }}{{12}}\).

b) Vì \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \) nên cos α < 0. Mặt khác, từ sin² α + cos² α = 1 suy ra

\(\cos \alpha = - \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha } = - \sqrt {1 - {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^2}} = - \frac{{\sqrt 5 }}{3}\).

Do đó, \(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{{\frac{2}{3}}}{{ - \frac{{\sqrt 5 }}{3}}} = - \frac{2}{{\sqrt 5 }} = - \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\) và \(\cot \alpha = \frac{1}{{\tan \alpha }} = \frac{1}{{ - \frac{{2\sqrt 5 }}{5}}} = - \frac{{\sqrt 5 }}{2}\).

c) Ta có: \(\cot \alpha = \frac{1}{{\tan \alpha }} = \frac{1}{{\sqrt 5 }} = \frac{{\sqrt 5 }}{5}\).

Vì \(\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}\) nên cos α < 0. Mặt khác, từ \(1 + {\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\) suy ra

\(\cos \alpha = - \sqrt {\frac{1}{{1 + {{\tan }^2}\alpha }}} = - \sqrt {\frac{1}{{1 + {{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2}}}} = - \frac{{\sqrt 6 }}{6}\).

Mà \(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} \Rightarrow \sin \alpha = \tan \alpha .\cot \alpha = \sqrt 5 .\left( { - \frac{{\sqrt 6 }}{6}} \right) = - \frac{{\sqrt {30} }}{6}\).

d) Ta có: \(\tan \alpha = \frac{1}{{\cot \alpha }} = \frac{1}{{ - \frac{1}{{\sqrt 2 }}}} = - \sqrt 2 \).

Vì \(\frac{{3\pi }}{2} < \alpha < 2\pi \) nên cos α > 0. Mặt khác, từ \(1 + {\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\) suy ra

\(\cos \alpha = \sqrt {\frac{1}{{1 + {{\tan }^2}\alpha }}} = \sqrt {\frac{1}{{1 + {{\left( { - \sqrt 2 } \right)}^2}}}} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\).

Mà \(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} \Rightarrow \sin \alpha = \tan \alpha .\cot \alpha = - \sqrt 2 .\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{3}} \right) = - \frac{{\sqrt 6 }}{3}\).

Lời giải:

a) Áp dụng sin² α + cos² α = 1, suy ra sin² α = 1 – cos² α.

Ta có: VT = cos⁴ α – sin⁴ α = (cos² α)² – (sin² α)²

= (cos² α + sin² α)(cos² α – sin² α)

= 1 . (cos² α – sin² α)

= cos² α – (1 – cos² α)

= 2cos² α – 1 = VP (đpcm).

b) Áp dụng các hệ thức lượng giác cơ bản.

Ta có: \(VT = \frac{{{{\cos }^2}\alpha + {{\tan }^2}\alpha - 1}}{{{{\sin }^2}\alpha }}\)\( = \frac{{{{\cos }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }} + \frac{{{{\tan }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }} - \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}\)

\( = {\cot ^2}\alpha + \frac{{\frac{{{{\sin }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }}}}{{{{\sin }^2}\alpha }} - \left( {1 + {{\cot }^2}\alpha } \right)\)\( = {\cot ^2}\alpha + \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} - 1 - {\cot ^2}\alpha \)

\( = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} - 1 = \left( {1 + {{\tan }^2}\alpha } \right) - 1 = {\tan ^2}\alpha = VP\) (đpcm).