50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Đề thi thử thpt quốc gia môn Toán mới nhất cực hay (Đế số 3)

Câu 1:

17/06/2026

Cho hàm số $y = \frac{x - 4}{2 x + 3}$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hàm số đồng biến trên $(- \infty; - \frac{2}{3})$ .

B. Hàm số đồng biến trên $(- \infty; \frac{3}{2})$ .

C. Hàm số đồng biến trên $(- \frac{3}{2}; + \infty)$ .

D. Hàm số nghịch biến trên $(0; + \infty)$ .

Xem đáp án

Đáp án C.

$y' = \frac{11}{{(2 x + 3)}^{2}} > 0$ với mọi

$x \in (- \infty; - \frac{3}{2}) \cup (- \frac{3}{2}; + \infty) .$

Câu 2:

17/06/2026

Cho số phức $z = 3 + 5 i$ có điểm biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ là M. Tìm tọa độ điểm M

A. $M (3; - 5) .$

B. $M (- 3; - 5) .$

C. $M (3; 5) .$

D. $M (5; 3) .$

Xem đáp án

Đáp án C.

Chú ý rằng số phức $z = 3 + 5 i$ được biểu diễn bởi điểm $M (a; b)$ trên mặt phẳng tọa độ.

Câu 3:

17/06/2026

Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đường cong $y = 3 e^{- x} + x$ , trục hoành và hai đường thẳng $x = 0, x = \ln 2$ . Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi cho (H) quay quanh trục hoành được tính bằng công thức nào sau đây?

A. $π^{2} \int_{0}^{\ln 2} {(3 e^{- x} + x)}^{2} d x .$

B. $\int_{0}^{\ln 2} |3 e^{- x} + x| d x .$

C. $π \int_{0}^{\ln 2} {(3 e^{- x} + x)}^{2} d x .$

D. $π \int_{0}^{\ln 2} |3 e^{- x} + x| d x .$

Xem đáp án

Đáp án C.

Chú ý rằng nếu hàm số $y = f (x)$ liên tục trên $[a; b]$ , thể tích hình (H) tạo thành khi quay phần giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f (x)$ , đường thẳng x = a và x = b quanh trục hoành là $V = π \int_{a}^{b} f^{2} (x) d x .$

Câu 4:

17/06/2026

Họ nguyên hàm của hàm số $f (x) = e^{2 x} - \frac{1}{x^{2}}$ là

A. $\frac{1}{2} e^{2 x} - \frac{1}{x} + C .$

B. $\frac{1}{2} e^{2 x} + \frac{1}{x} + C .$

C. $e^{2 x} + \frac{1}{x} + C .$

D. $e^{2 x} - \frac{1}{x} + C .$

Xem đáp án

Đáp án B.

$\int e^{2 x} d x - \int x^{- 2} d x = \frac{e^{2 x}}{2} - \frac{x^{- 1}}{- 1} + C = \frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{x} + C .$

Câu 5:

17/06/2026

Cho hàm số $y = \frac{2}{x - 5}$ . Tìm đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

A. $y = - \frac{2}{5} .$

B. $y = 2.$

C. $y = 0.$

D. $x = 5$

Xem đáp án

Đáp án C.

$\lim_{x \to + \infty} \frac{2}{x - 5} = 0.$

Câu 6:

17/06/2026

Phương trình $\tan x = \tan φ$ (hằng số $φ$ thuộc R ) có nghiệm là

A.

$x = φ + k 2 π (k \in Z) .$

B.

$x = φ + 2 k π; x = π - φ + k 2 π (k \in Ζ) .$

C.

$x = φ + k π (k \in Z) .$

D.

$x = φ + 2 k π; x = - φ + k 2 π (k \in Ζ) .$

Xem đáp án

Đáp án C.

$y' = \frac{11}{{(2 x + 3)}^{2}} > 0$ với mọi

$x \in (- \infty; - \frac{3}{2}) \cup (- \frac{3}{2}; + \infty) .$

Câu 7:

17/06/2026

Cho a, b là các số thực dương, $a \neq 1$ và $α \in R$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $\log_{a^{α}} b = \log_{a} b^{α} .$

B. $\log_{a^{α}} b = \sqrt[α]{\log_{a} b} .$

C. $\log_{a^{α}} b = \frac{1}{α} l o g_{a} b .$

D. $\log_{a^{α}} b = \log_{a}^{α} b .$

Xem đáp án

Đáp án C.

$\log_{a^{α}} b = \frac{1}{α} \log_{a} b .$

Câu 8:

17/06/2026

Tích phân $I = \int_{0}^{2} {(x + 2)}^{3} d x$ bằng

A. I = 56.

B. I = 60.

C. I = 240.

D. I = 120.

Xem đáp án

Đáp án B.

${I = \frac{{(x + 2)}^{4}}{4}|}_{0}^{2} = 60.$

Câu 9:

17/06/2026

Cho hàm số $y = x^{4} - x^{2} + 1$ có đồ thị (C). Điểm nào sau đây thuộc đồ thị (C)?

A. A (1;0).

B. D (2;13).

C. $C (- 1; 3) .$

D. B $(- 2; - 13) .$

Xem đáp án

Đáp án B.

Khi x = 2 thì y = 13 nên D(2;13) thuộc (C).

Câu 10:

17/06/2026

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $A (6; - 3; - 1)$ và $B (2; - 1; 7)$ . Phương trình mặt cầu đường kính AB là

A. ${(x - 4)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 42.$

B. ${(x + 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 4)}^{2} = 21.$

C. ${(x - 4)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 21.$

D. ${(x - 8)}^{2} + {(y + 4)}^{2} + {(z - 6)}^{2} = 42.$

Xem đáp án

Đáp án C.

Mặt cầu có tâm $I (4; - 2; 3)$ và bán kính $I A = \sqrt{2^{2} + 1^{2} + 4^{2}} = \sqrt{21}$ nên phương trình mặt cầu đường kính AB là ${(x - 4)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 21.$

Câu 11:

17/06/2026

Thể tích V của khối lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng 3a và cạnh bên bằng a là

A. $V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{3} .$

B. $V = \frac{3 a^{3} \sqrt{3}}{4} .$

C. $V = \frac{9 a^{3} \sqrt{3}}{2} .$

D. $V = \frac{9 a^{3} \sqrt{3}}{4} .$

Xem đáp án

Đáp án D.

$V = S_{d} . h = \frac{\sqrt{3}}{4} . {(3 a)}^{2} . a = \frac{9 \sqrt{3} a^{3}}{4} .$

Câu 12:

17/06/2026

Cho các số thực a, m, n và a dương. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $a^{m + n} = {(a^{m})}^{n} .$

B. $a^{m + n} = \frac{a^{m}}{a^{n}} .$

C. $a^{m + n} = a^{m} . a^{n} .$

D. $a^{m + n} = a^{m} + n .$

Xem đáp án

Đáp án C.

Câu 13:

17/06/2026

Cho hàm số $y = - \frac{4}{3} x^{3} + 8 x^{2} + 1$ . Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là $C (0; 1) .$

B. Điểm cực tiểu của hàm số là $B (4; \frac{131}{3}) .$

C. Điểm cực đại của hàm số là $B (4; \frac{131}{3}) .$

D. Điểm cực đại của đồ thị hàm số là $C (0; 1) .$

Xem đáp án

Đáp án A.

Chú ý rằng ta loại luôn đáp án B và C vì các điểm có tọa độ rõ ràng chỉ có thể là điểm cực trị của đồ thị hàm số, không phải hàm số.

Xét $y' = - 4 x^{2} + 16 x = - 4 x (x - 4) .$

Khi $x = 0, y' = 0$ và đồ thị hàm số đổi dấu từ âm sang dương nên C(0;1) là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số.

Câu 14:

17/06/2026

Trong không gian Oxyz, tìm một véc tơ chỉ phương của đường thẳng

$d : \frac{x + 2}{- 5} = \frac{y + 5}{8} = \frac{z - 8}{- 2} .$

A. $\vec{u} (- 5; - 2; 8) .$

B. $\vec{u} (5; - 8; 2) .$

C. $\vec{u} (8; - 2; - 5) .$

D. $\vec{u} (- 2; - 5; 8) .$

Xem đáp án

Đáp án B.

Là các véc tơ cùng phương với véc tơ $(- 5; 8; - 2) .$

Câu 15:

17/06/2026

Trong không gian Oxyz, cho hai véc tơ $\vec{a} (2; 4; - 2)$ và $\vec{b} (3; - 1; 6) .$ Tính $P = \vec{a} . \vec{b} .$

A. $P = - 10.$

B. $P = - 40.$

C. $P = 16.$

D. $P = - 34.$

Xem đáp án

Đáp án A.

$P = \vec{a} . \vec{b} = 2.3 + 4. (- 1) + (- 2) .6 = - 10.$

Câu 16:

17/06/2026

Biết $\lim \frac{2 a n^{3} - 6 n^{2} + 2}{n^{3} + n} = 4$ với a là tham số. Lúc đó $a^{4} - a$ bằng

A. 10

B. 6

C. 12

D. 14

Xem đáp án

Đáp án D.

Chú ý rằng $\lim \frac{2 a n^{3} - 6 n^{2} + 2}{n^{3} + n} = 2 a,$

do đó

$2 a = 4 \Leftrightarrow a = 2, a^{4} - a = 16 - 2 = 14.$

Câu 17:

17/06/2026

Trong không gian Oxyz, phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm $A (0; - 1; 2), B (- 2; 0; 3)$ và $C (1; 2; 0)$ là

A. $7 x - 5 y - 3 z + 1 = 0$

B. $7 x - 5 y - 3 z + 11 = 0$

C. $5 x + 3 y + 7 z - 17 = 0$

D. $5 x + 3 y + 7 z - 11 = 0$

Xem đáp án

Đáp án D.

$\vec{A B} = (- 2; 1; 1); \vec{A C} = (1; 3; - 2) .$ Do đó $\vec{n} = [\vec{A B}; \vec{A C}] = (- 5; - 3; - 7) .$

Câu 18:

17/06/2026

Cho hàm số $y = 2 x^{3} - 3 x^{2} + 1$ . Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số trên khoảng $(- \frac{23}{10}; \frac{5}{4}) .$ Tìm M

A. $M = - \frac{9801}{250} .$

B. $M = 1.$

C. $M = \frac{7}{32} .$

D. $M = 0.$

Xem đáp án

Đáp án B.

$y' = 6 x^{2} - 6 x = 6 x (x - 1) .$ Do đó $M = f (0) = 1.$

Câu 19:

17/06/2026

Bất phương trình $2 \log_{9} (x + 2) - \log_{3} (1 - x) \geq 1$ có tập nghiệm là $S = [a; b) .$ Tính $P = {(4 a + 1)}^{2} + b^{3} .$

A. $P = - 1.$

B. $P = 5.$

C. $P = 4.$

D. $P = 1.$

Xem đáp án

Đáp án B.

TXĐ: $\{\begin{cases} x + 2 > 0 \\ 1 - x > 0 \end{cases} \Leftrightarrow - 2 < x < 1.$

Bất phương trình tương đương với:

$\log_{3} \frac{x + 2}{1 - x} \geq 1 \Leftrightarrow \frac{x + 2}{1 - x} \geq 3 \Leftrightarrow x + 2 \geq 3 - 3 x \Leftrightarrow x \geq \frac{1}{4} .$

Do đó $a = \frac{1}{4}; b = 1$ nên

$S = 2^{2} + 1^{3} = 5.$

Câu 20:

17/06/2026

Phương trình ${27.4}^{x} - {30.6}^{x} + {8.9}^{x} = 0$ tương đương với phương trình nào sau đây?

A. $x^{2} + 3 x + 2 = 0.$

B. $x^{2} - 3 x + 2 = 0.$

C. $27 x^{2} - 30 x + 8 = 0.$

D. $8 x^{2} - 30 x + 27 = 0.$

Xem đáp án

Đáp án B.

Phương trình tương đương:

$27 (\frac{4^{x}}{9^{x}}) - 30. \frac{2^{x}}{3^{x}} + 8 = 0.$

Đặt $\frac{2^{x}}{3^{x}} = t,$ phương trình tương đương với

$27 t^{2} - 30 t + 8 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = \frac{2}{3} \\ t = \frac{4}{9} \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \\ x = 2 \end{array} \Leftrightarrow (x - 1) (x - 2) = 0 \Leftrightarrow x^{2} - 3 x + 2 = 0.$

Câu 21:

17/06/2026

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, AB = BC = 6cm và SB vuông góc với mặt phẳng (ABC). Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC là

A. 6cm.

B. $3 \sqrt{2} c m .$

C. $6 \sqrt{2} c m .$

D. 3cm.

Xem đáp án

Đáp án B.

Kẻ $B H ⊥ A C (H \in A C)$

thì $B H ⊥ S B$ (Do $S B ⊥ (A B C)$ ),

do đó BH là đường vuông góc chung của 2 đường thằng SB và AC. Dễ thấy $B H = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3 \sqrt{2} .$

Câu 22:

17/06/2026

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với đáy một góc $30 °$ .Thể tích V của khối chóp S.ABCD bằng

A. $V = \frac{a^{3} \sqrt{6}}{9} .$

B. $V = \frac{a^{3} \sqrt{6}}{18} .$

C. $V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{9} .$

D. $V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{6} .$

Xem đáp án

Đáp án B.

Chiều cao khối chóp:

$h = \frac{a \sqrt{2}}{2} . \tan 30 ° = \frac{a \sqrt{6}}{6} .$

Do đó

$V = \frac{1}{3} a^{2} . h = \frac{1}{3} a^{2} . \frac{a \sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6} a^{3}}{18} .$

Câu 23:

17/06/2026

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng $(P) : 3 x - y - 3 z + 2 = 0$ và $(Q) : - 4 x + y + 2 z + 1 = 0.$ Phương trình đường thẳng đi qua gốc tọa độ O và song song với 2 đường thẳng (P) và (Q) là:

A. $\frac{x}{1} = \frac{y}{- 1} = \frac{z}{6} .$

B. $\frac{x}{1} = \frac{y}{- 6} = \frac{z}{- 1} .$

C. $\frac{x}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z}{6} .$

D. $\frac{x}{1} = \frac{y}{6} = \frac{z}{- 1} .$

Xem đáp án

Đáp án D.

Đường thẳng đó có véc tơ chỉ phương:

$\vec{u} = [\vec{n_{1}}; \vec{n_{2}}] = [(3; - 1; - 3); (- 4; 1; 2)] = (1; 6; - 1) .$

Câu 24:

17/06/2026

Cho

$\int_{\ln 2}^{1 + \ln 2} f (x) d x = 2018.$

Tính $I = \int_{1}^{e} \frac{1}{x} f (\ln 2 x) d x .$

A. I = 2018.

B. I = 4036.

C. $I = \frac{1009}{2} .$

D. I = 1009.

Xem đáp án

Đáp án A.

Nhận thấy

$(\ln 2 x)' = \frac{1}{2 x} .2 = \frac{1}{x} \Rightarrow I = \int_{1}^{e} f (\ln 2 x) . d (\ln 2 x) = \int_{\ln 2}^{\ln 2 e} f (t) d t = \int_{\ln 2}^{1 + \ln 2} f (t) d t = 2018.$

Câu 25:

17/06/2026

Có bao nhiêu kết quả xảy ra khi bỏ phiếu bầu 1 bí thư, 2 phó bí thư và 1 ủy viên từ 30 đoàn viên thanh niên của một lớp học?

A. 164430

B. 328860

C. 657720

D. 142506

Xem đáp án

Đáp án B.

Số kết quả xảy ra:

$C_{1}^{30} . C_{2}^{29} . C_{}^{27} = 328860.$

Câu 26:

17/06/2026

Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đường $(P) : y = 2 x^{2},$ parabol tiếp tuyến của (P) tại M (1;2) và trục Oy là

A. $S = 1.$

B. $S = \frac{2}{3} .$

C. $S = \frac{1}{3} .$

D. $S = \frac{1}{2} .$

Xem đáp án

Đáp án B.

Phương trình tiếp tuyến của (P) tại điểm M:

$y = 4 (x - 1) + 2 = 4 x - 2.$

$S = \int_{0}^{1} (2 x^{2} - 4 x + 2) d x = \frac{2}{3} .$

Câu 27:

17/06/2026

Cho hàm số $y = \frac{4}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 1$ có đồ thị (C) và đường thẳng $d : y = - m .$ Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để d cắt (C) tại ba điểm phân biệt.

A. $[\frac{1}{3}; 1] .$

B. $[- 1; - \frac{1}{3}] .$

C. $(\frac{1}{3}; 1) .$

D. $(- 1; - \frac{1}{3}) .$

Xem đáp án

Đáp án D.

Xét hàm

$f (x) = \frac{4}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 1,$

ta có $f' (x) = 4 x^{2} - 4 x = 4 x (x - 1) .$

Do đó hàm số $f (x)$ có các điểm cực trị là

$(0; 1)$ và $(1; \frac{1}{3}) .$ (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt thì

$\frac{1}{3} < - m < 1 \Leftrightarrow - 1 < m < - \frac{1}{3} .$

Câu 28:

17/06/2026

Phương trình $z^{2} + z + 3 = 0$ có 2 nghiệm $z_{1}, z_{2}$ trên tập số phức. Tính giá trị biểu thức $P = z_{1}^{2} + z_{2}^{2}$

A. $P = - 5.$

B. $P = - \frac{21}{2} .$

C. $P = 6.$

D. $P = 7.$

Xem đáp án

Đáp án A.

$P = {(z_{1} + z_{2})}^{2} - 2 z_{1} z_{2} = {(- 1)}^{2} - 2.3 = - 5.$

Câu 29:

17/06/2026

Cho hình nón tròn xoay có chiều cao h = 37 cm, nếu cắt hình nón bởi mặt phẳng qua trục ta được một tam giác đều. Tính diện tích xung quanh $S_{x q}$ của hình nón (làm tròn đến chữ số thập phân thức ba).

A. $S_{x q} = 761, 807 c m^{2} .$

B. $S_{x q} = 2867, 227 c m^{2} .$

C. $S_{x q} = 1433, 613 c m^{2} .$

D. $S_{x q} = 1612, 815 c m^{2} .$

Xem đáp án

Đáp án B.

$S_{x q} = π r l$ với

$l = 2 r = \frac{h}{\cos 30 °} = \frac{2}{\sqrt{3}} h \Rightarrow S = π . \frac{l^{2}}{2} = π . \frac{2}{3} h^{2} ≃ 2867, 227 c m^{3} .$

Câu 30:

17/06/2026

Cho hàm số $y = - x^{3} + 2 x^{2} + 2$ có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng $y = x + 2.$

A. $y = x + \frac{68}{27} .$

B. $y = x + 2.$

C. $y = x + \frac{50}{27} .$

D. $y = x - \frac{1}{3} .$

Xem đáp án

Đáp án C.

Ta có:

$y' = - 3 x^{2} + 4 x; y' = 1 \Leftrightarrow - 3 x^{2} + 4 x = 1 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \\ x = \frac{1}{3} \end{array} .$

Khi x = 1, tiếp tuyến có phương trình y = x + 2 trùng với đường thẳng y = x + 2.

Khi x = , tiếp tuyến có phương trình $y = x + \frac{50}{27} .$

Câu 31:

17/06/2026

Trong không gian Oxyz cho 2 đường thẳng

$d_{1} : \frac{x + 3}{2} = \frac{y + 2}{- 1} = \frac{z + 2}{- 4}, d_{2} : \frac{x + 1}{3} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 2}{3}$ và mặt phẳng $(P) : x + 2 y + 3 z - 7 = 0.$ Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (P), cắt $d_{1}$ và $d_{2}$ có phương trình là

A. $\frac{x + 7}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z - 6}{3} .$

B. $\frac{x + 5}{1} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 2}{3} .$

C. $\frac{x + 4}{1} = \frac{y + 3}{2} = \frac{z + 1}{3} .$

D. $\frac{x + 3}{1} = \frac{y + 2}{2} = \frac{z + 2}{3} .$

Xem đáp án

Đáp án B.

Gọi $M (2 a - 3; - 2 - a; - 2 - 4 a)$ thuộc $d_{1}$ và $N (- 1 + 3 b; - 1 + 2 b; 2 + 3 b)$ thuộc $d_{2}$ là 2 giao điểm.

Ta có:

$\vec{M N} = (3 b - 2 a + 2; 2 b + a + 1; 3 b + 4 a + a) .$

Vì $\vec{M N}$ cùng phương với $\vec{n_{(P)}} = (1; 2; 3)$ nên ta có:

$\frac{3 b - 2 a + 2}{1} = \frac{2 b + a + 1}{2} = \frac{3 b + 4 a + 4}{3} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = - 1 \\ b = - 2 \end{cases}$

$\Rightarrow M (- 5; - 1; 2),$ điểm này thuộc đường thẳng ở đáp án B.

Câu 32:

17/06/2026

Cho hai số phức $z_{1}, z_{2}$ thỏa mãn $|z_{1}| = |z_{2}| = \sqrt{17} .$ Gọi M, N lần lượt là các điểm biểu diễn $z_{1}, z_{2}$ trên mặt phẳng tọa độ. Biết $M N = 3 \sqrt{2},$ gọi H là đỉnh thứ tư của hình bình hành OMHN và K là trung điểm của ON. Tính $l = K H .$

A. $l = \frac{\sqrt{17}}{2} .$

B. $l = 5 \sqrt{2} .$

C. $l = \frac{3 \sqrt{13}}{2} .$

D. $l = \frac{5 \sqrt{2}}{2} .$

Xem đáp án

Đáp án C.

Ghi nhớ: Công thức đường trung tuyến:

$m_{a}^{2} = \frac{b^{2} + c^{2}}{2} - \frac{a^{2}}{4} .$

Gọi E là giao điểm của OH và MN.

Ta có:

$O E^{2} = \frac{O M^{2} + O N^{2}}{2} - \frac{M N^{2}}{4} = 17 - \frac{9}{2} = \frac{25}{2} \Rightarrow O H^{2} = 50.$

$H K^{2} = \frac{H N^{2} + H O^{2}}{2} - \frac{O N^{2}}{4} = \frac{O M^{2} + O H^{2}}{2} - \frac{O N^{2}}{4} = \frac{17 + 50}{2} - \frac{17}{4} = \frac{117}{4} \Rightarrow H K = \frac{3 \sqrt{13}}{2} .$

Câu 33:

17/06/2026

Bốn số tạo thành một cấp số cộng có tổng bằng 32 và tổng bình phương của chúng bằng 336. Tích của bốn số đó là

A. 5760

B.15120

C. 1920

D. 1680

Xem đáp án

Đáp án D.

Gọi 4 số đó là: a; a + d; a + 2d; a + 3d.

Theo đề bài:

$4 a + 6 d = 32 \Rightarrow 2 a + 3 d = 16.$

Lại có

$a^{2} + {(a + d)}^{2} + {(a + 2 d)}^{2} + {(a + 3 d)}^{2} = 336 \Leftrightarrow 4 a^{2} + 12 a d + 14 d^{2} = 336.$

$2 a = 16 - 3 d$ vào, ta tìm được d = 4 hoặc.

Ở cả 2 trường hợp đều ra 4 số cần tìm là 2; 6; 10; 14. Tích 4 số này là 1680.

Câu 34:

17/06/2026

Có một khối cầu bằng gỗ bán kính R = 10cm. Sau khi cưa bằng hai chỏm cầu có bán kính đáy bằng $\frac{1}{2} R$ đối xứng nhau qua tâm của khối cầu, một người thợ mộc đục xuyên tâm của khối cầu gỗ. Người thợ mộc đã đục bỏ đi phần hình hộp chữ nhật có trục của nó trùng với trục hình cầu và có hai mặt lần lượt nằm trên hai mặt phẳng chứa hai đáy của chỏm cầu; hai mặt này là hai hình vuông có đường chéo bằng R (tham khảo hình vẽ bên).

Tính thể tích V của phần còn lại của khối cầu (làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba)

A. $V = 3215, 023 c m^{3} .$

B. $V = 3322, 765 c m^{3} .$

C. $V = 3268, 894 c m^{3} .$

D. $V = 3161, 152 c m^{3} .$

Xem đáp án

Đáp án A.

Gọi I là tâm của đường tròn dáy của chỏm cầu. M là 1 đỉnh của hình hộp thuộc đường tròn $(I; \frac{R}{2}) .$

Ta có:

$I M = \frac{R}{2}; O M = R \Rightarrow O I = \sqrt{R^{2} - \frac{R^{2}}{4}} = \frac{\sqrt{3} R}{2} .$

Do đó khối hộp có chiều cao là

$h = \sqrt{3} R = 10 \sqrt{3} .$

Thể tích của chỏm cầu bị cắt:

$V = \int_{\frac{h}{2}}^{R} π (R^{2} - x^{2}) d x = \int_{5 \sqrt{3}}^{10} π (100 - x^{2}) d x ≃ 53, 87.$

Thể tích của khối hộp chữ nhật:

$V = S_{d} . h = {(\frac{R}{\sqrt{2}})}^{2} . \sqrt{3} . R = \frac{\sqrt{3}}{2} R^{3} ≃ 866, 025.$

Thể tích khối cầu ban đầu:

$V = \frac{4}{3} π R^{3} ≃ 4188, 79.$

Do đó thể tích cần tính:

$V ≃ 4188, 79 - 866, 025 - 2.53, 87 ≃ 3215, 023.$

Câu 35:

17/06/2026

Cho hàm số $f (x)$ có đạo hàm và liên tục trên đoạn $[4; 8]$ và $f (x) \neq 0 \forall x \in [4; 8] .$ Biết rằng $\int_{4}^{8} \frac{{[f' (x)]}^{2}}{{[f (x)]}^{4}} d x = 1$ và $f (4) = \frac{1}{4}, f (8) = \frac{1}{2}$ . Tính $f (6) .$

A. $\frac{5}{8} .$

B. $\frac{2}{3} .$

C. $\frac{3}{8} .$

D. $\frac{1}{3} .$

Xem đáp án

Đáp án D.

Ta có:

$\int_{4}^{8} \frac{f' (x)}{{[f (x)]}^{2}} d x = \int_{4}^{8} {[f (x)]}^{- 2} d [f (x)] = {\frac{{[f (x)]}^{- 1}}{- 1}|}_{4}^{8} = - \frac{1}{f (8)} + \frac{1}{f (4)} = - 2 + 4 = 2.$

Gọi k là 1 hằng số thực. Xét

$\int_{4}^{8} {(\frac{f' (x)}{f^{2} (x)} + k)}^{2} d x = \int_{4}^{8} \frac{{[f' (x)]}^{2}}{{[f (x)]}^{4}} d x + 2 k \int_{4}^{8} \frac{f' (x)}{f^{2} (x)} d x + k^{2} \int_{4}^{8} d x = 1 + 2 k . k + 4 k^{2} = {(2 k + 1)}^{2} .$

Chọn $k = \frac{- 1}{2},$ ta có $\int_{4}^{8} {(\frac{f' (x)}{f^{2} (x)} - \frac{1}{2})}^{2} d x = 0,$ mà ${(\frac{f' (x)}{f^{2} (x)} - \frac{1}{2})}^{2} \geq 0$ nên ${(\frac{f' (x)}{f^{2} (x)} - \frac{1}{2})}^{2} = 0 \Leftrightarrow \frac{f' (x)}{f^{2} (x)} = \frac{1}{2}$

$\Rightarrow \int \frac{f' (x)}{f^{2} (x)} d x = \frac{x}{2} + C \Rightarrow - \frac{1}{f (x)} = \frac{x}{2} + C .$

Với $x = 4$ , ta có

$- \frac{1}{f (4)} = 2 + C \Leftrightarrow - 4 = 2 + C \Leftrightarrow C = - 6.$

Do đó: $f (x) = \frac{- 1}{\frac{x}{2} - 6} = \frac{2}{12 - x} .$ Do đó $f (6) = \frac{2}{12 - 6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} .$

Câu 36:

17/06/2026

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, $A B C = 60 °,$ mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi H, M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, SA, SD và P là giao điểm của (HMN) với CD. Khoảng cách từ trung điểm của đoạn thẳng SP đến mặt phẳng (HMN) bằng

A. $\frac{a \sqrt{15}}{30} .$

B. $\frac{a \sqrt{15}}{20} .$

C. $\frac{a \sqrt{15}}{15} .$

D. $\frac{a \sqrt{15}}{10} .$

Xem đáp án

Đáp án B.

Gọi I là trung điểm của SP. Theo định lý Talet:

$d_{\frac{1}{(H M N)}} = \frac{1}{2} d_{\frac{S}{(H M N)}} .$ Ta cần tính $d_{\frac{S}{(H M N)}} .$

Bước 1: Tìm $V_{S . H M N}$

Ta có:

$\frac{V_{S . H M N}}{V_{S . H A D}} = \frac{1}{2} . \frac{1}{2} = \frac{1}{4}; \frac{V_{S . H A D}}{V_{S . A B C D}} = \frac{1}{4}$

Giả sử a = 1

Dễ thấy

$V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} S H . S_{A B C D} = \frac{1}{3} . \frac{\sqrt{3}}{2} . \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{4}$

$\Rightarrow V_{S . H M N} = \frac{1}{16} . \frac{1}{4} = \frac{1}{64} .$

Bước 2: Tìm $S_{H M N} .$ Ta có: $\vec{M H} = - \frac{1}{2} \vec{B S}$ và $\vec{M N} = \frac{1}{2} \vec{B C} \Rightarrow H M N = 180 ° - S B C .$

Do đó

$\sin H M N = \sin S B C \Rightarrow S_{H M N} = \frac{1}{2} M H . M N . \sin H M N = \frac{1}{4} . S_{S B C} .$

Tam giác SBC có SB = BC = 1;

$S C = \sqrt{S H^{2} + H C^{2}} = \sqrt{2} S H = \frac{\sqrt{6}}{2} \Rightarrow S_{S B C} = \frac{\sqrt{15}}{8} .$

Do đó $S_{H M N} = \frac{1}{4} . \frac{\sqrt{15}}{8} = \frac{\sqrt{15}}{32} .$

Bước 3: Sử dụng công thức:

$d_{\frac{S}{(H M N)}} = \frac{3. V_{S . H M N}}{S_{H M N}} = \frac{3}{64} . \frac{32}{\sqrt{15}} = \frac{\sqrt{15}}{10} \Rightarrow d_{\frac{I}{(H M N)}} = \frac{1}{2} . \frac{\sqrt{15}}{10} = \frac{\sqrt{15}}{20} .$

Câu 37:

17/06/2026

Cho tích phân $\int_{\frac{π}{2}}^{π} \frac{\cos 2 x}{1 - \cos x} d x = a π + b$ với $a, b \in Q .$ Tính $P = 1 - a^{3} - b^{2} .$

A. P = 9.

B. $P = - 29$

C. $P = - 7$

D. $P = - 27$

Xem đáp án

Đáp án C.

Câu 38:

17/06/2026

Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \sqrt{1 - x^{2}} + 2 \sqrt[3]{{(1 - x^{2})}^{2}} .$ Hỏi điểm $A (M; m)$ thuộc đường tròn nào sau đây?

A. $x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 4.$

B. ${(x - 3)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 5.$

C. ${(x - 4)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 4.$

D. ${(x - 3)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4.$

Xem đáp án

Đáp án D.

Đặt $\sqrt[6]{1 - x^{2}} = t (0 \leq t \leq 1) .$ Ta có:

$y = t^{3} + 2 t^{4}; y' = 8 t^{3} + 3 t^{2} = t^{2} (8 t + 3) .$

Với $t \in [0; 1]; y' \geq 0$ nên $y (t)$ đồng biến trên $[0; 1] .$ Do đó:

$\{\begin{cases} M = y (1) = 3 \\ m = y (0) = 0 \end{cases} .$

$\Rightarrow A (3; 0)$ thuộc đường tròn

${(x - 3)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4.$

Câu 39:

17/06/2026

Giá trị của

$A = \frac{1}{1! .2018!} + \frac{1}{2! .2017!} + \frac{1}{3! .2016!} + ... + \frac{1}{1008! .1011!} + \frac{1}{1009! .1010!}$ bằng

A. $\frac{2^{2017} - 1}{2018!} .$

B. $\frac{2^{2017}}{2018!} .$

C. $\frac{2^{2017}}{2019!} .$

D. $\frac{2^{2018} - 1}{2019!} .$

Xem đáp án

Đáp án D.

Cách 1 (Giải theo trắc nghiệm - Tổng quát hóa – Đặc biệt hóa)

Bài toán tổng quát:

Cho

$A = \frac{1}{1! . (2 n)!} + \frac{1}{2! . (2 n - 1)!} + \frac{1}{3! . (2 n - 2)!} + ... + \frac{1}{(n - 1)! . (2 n)!} + \frac{1}{n! . (n + 1)!}$

Cho

$A = \frac{1}{1! . (2 n)!} + \frac{1}{2! . (2 n - 1)!} + \frac{1}{3! . (2 n - 2)!} + ... + \frac{1}{(n - 1)! . (2 n)!} + \frac{1}{n! . (n + 1)!}$

Giá trị của A là:

A. $\frac{2^{2 n - 1} - 1}{(2 n)!} .$

B. $\frac{2^{2 n - 1}}{(2 n)!} .$

C. $\frac{2^{2 n}}{(2 n + 1)!} .$

D. $\frac{2^{2 n} - 1}{(2 n + 1)!} .$

Đặc biệt hóa: Cho n = 2, ta có:

$A = \frac{1}{1! .4!} + \frac{1}{2! .3!} = \frac{1}{8} .$

Khi n = 2 ứng với 4 đáp án A, B, C, D, ta thấy chỉ có đáp án D:

$\frac{2^{4} - 1}{5!} = \frac{1}{8} .$

Cách 2 (Làm tự luận)

Ta có:

$A = \sum_{k = 1}^{1009} \frac{1}{k! . (2019 - k)!} \Rightarrow 2019! . A = \sum_{k = 1}^{1009} \frac{2019!}{k! . (2019 - k)!} = \sum_{k = 1}^{1009} C_{2019}^{k}$

Chú ý rằng: $C_{2019}^{k} = C_{2019}^{2019 - k}$

nên $\sum_{k = 1}^{1009} C_{2019}^{k} = \sum_{k = 1010}^{2018} C_{2019}^{k}$

Ngoài ra ${(1 + 1)}^{2019} = \sum_{k = 0}^{2019} C_{2019}^{k} = 2^{2019}$

$\Rightarrow \sum_{k = 1}^{1009} C_{2019}^{k} = \frac{1}{2} \sum_{k = 1}^{2018} C_{2019}^{k} = \frac{1}{2} (\sum_{k = 0}^{2019} C_{2019}^{k} - 2) = \frac{1}{2} (2^{2019} - 2) = 2^{2018} - 1.$

Do đó $A = \frac{2^{2018} - 1}{2019!} .$

Câu 40:

17/06/2026

Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC với $A (1; - 2; 3), B (- 4; 0; - 1)$ và $C (1; 1; - 3)$ . Phương mặt phẳng (P) đi qua A, trọng tâm G của tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng (ABC) là

A. $5 x + y - 2 z + 3 = 0.$

B. $2 y + z - 7 = 0.$

C. $5 x + y - 2 z - 1 = 0.$

D. $2 y + z + 1 = 0$

Xem đáp án

Đáp án A.

(P) đi qua A và G nên (P) đi qua trung điểm của BC là điểm

$M (- \frac{3}{2}; \frac{1}{2}; - 2) .$

Ta có: $\vec{A M} = (- \frac{5}{2}; \frac{5}{2}; - 5)$ cùng phương với véc tơ $(- 1; 1; - 2)$

Mặt phằng (ABC) có vác tơ pháp tuyến:

$\vec{n_{1}} = [\vec{A B}; \vec{A C}] = [(- 5; 2; - 4); (0; 3; - 6)] = (0; - 30; - 15)$

cùng phương với véc tơ $(0; 2; 1) .$

Vì (P) chứa AM và vuông góc với (ABC) nên (P) có véc tơ chỉ phương:

$\vec{n_{(P)}} = [(- 1; 1; - 2); (0; 2; 1)] = (- 5; - 1; 2) .$

Ngoài ra (P) qua $A (1; - 2; 3)$ nên phương trình (P):

$- 5 (x - 1) - 1 (y + 2) + 2 (z - 3) = 0 \Leftrightarrow 5 x + y - 2 z + 3 = 0$

Câu 41:

17/06/2026

Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số $y = |\frac{2}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 1|$ trên $(- \frac{8}{3}; 3) .$ Biết $M = \frac{a}{b}$ với $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản $a \in Z, b \in N^{*} .$ Tính $S = a + b^{3} .$

A. S = 32.

B. S = 128.

C. S = 3.

D. S = 2.

Xem đáp án

Đáp án A.

Lưu ý: Nếu c, d lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

$y = f (x)$ trên (m;n) thì giá trị lớn nhất của hàm số $y = |f (x)|$ trên (m;n) là $M a x \{|a|; |b|\} .$

Xét hàm số $f (x) = \frac{2}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 1.$ Ta có $f' (x) = 2 x^{3} - 4 x = 2 x (x - 2) .$ Ta có bảng biến thiên của hàm số trên $[- \frac{8}{3}; 3]$ như sau:

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy $M i n f (x) = - \frac{5}{3}$ và $M a x f (x) = 1$ trên $(- \frac{8}{3}; 3) .$

Do đó

$M = M a x \{|- \frac{5}{3}|; |1|\} = \frac{5}{3} \Rightarrow a = 5; b = 3.$

Do đó $S = a + b^{3} = 5 + 3^{3} = 32.$

Câu 42:

17/06/2026

Từ 15 học sinh gồm 6 học sinh giỏi, 5 học sinh khá, 4 học sinh trung bình, giáo viên muốn lập thành 5 nhóm làm 5 bài tập lớn khác nhau, mỗi nhóm 3 học sinh. Tính xác suất để nhóm nào cũng có học sinh giỏi và học sinh khá.

A. $\frac{108}{7007} .$

B. $\frac{216}{7007} .$

C. $\frac{216}{35035} .$

D. $\frac{72}{7007} .$

Xem đáp án

Đáp án B.

Không gian mẫu: Số cách chia 15 học sinh thành 5 nhóm, mỗi nhóm 3 học sinh:

$n (Ω) = \frac{C_{15}^{3} . C_{12}^{3} . C_{9}^{3} . C_{6}^{3} . C_{3}^{3}}{5!} = 1401400.$

Vì cả 5 nhóm đều có học sinh giỏi và khá nên sẽ có đúng 1 nhóm có 2 học sinh giỏi, 1 học

sinh khá, các nhóm còn lại đều có 1 giỏi, 1 khá và 1 trung bình.

Số kết quả thỏa mãn:

$n (P) = C_{6}^{2} . C_{5}^{1} .4! .4! = 43200.$

Xác suất cần tính:

$\frac{n (P)}{n (Ω)} = \frac{216}{7007} .$

Câu 43:

17/06/2026

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(5;7;6) và B(2;4;3). Trên mặt phẳng (Oxy), lấy điểm M(a;b;c) sao cho MA + MB bé nhất. Tính $P = a^{2} + b^{3} - c^{4} .$

A. P = 134

B. $P = - 122$

C. $P = - 204$

D. P = 52

Xem đáp án

Đáp án A.

Phương trình mặt phẳng (Oxy):

$z = 0 \Rightarrow c = 0.$

Lấy điểm A’ đối xứng với A qua mặt phẳng (Oxy). Dễ thấy

$A' (5; 7; - 6) .$

Ta có: $M A + M B = M A' + M B \geq A' B .$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi M nằm giữa A’B, hay M là giao điểm của A’B với mặt phẳng (Oxy).

Đường thẳng A’B có $\vec{u} = (1; 1; - 3)$ và qua $B (2; 4; 3) \Rightarrow$ phương trình đường thẳng A’B:

$\{\begin{cases} x = 2 + t \\ y = 4 + t \\ z = 3 - 3 t \end{cases} .$

M là giao của A’B và (Oxy) nên $M (3; 5; 0) .$

Do đó $P = 3^{2} + 5^{3} - 0^{4} = 134.$

Câu 44:

17/06/2026

Số nghiệm thuộc nửa khoảng $[- π; 0)$ của phương trình $\cos x - \cos 2 x - \cos 3 x + 1 = 0$ là

A. 3

B. 1

C. 4

D. 2

Xem đáp án

Đáp án D.

Phương trình tương với:

$\begin{array}{l} \cos x - (2 \cos^{2} x - 1) - (4 \cos^{3} x - 3 \cos x) + 1 = 0 \\ \Leftrightarrow - 4 \cos^{3} x - 2 \cos^{2} x + 4 \cos x + 2 = 0 \\ \Leftrightarrow 2 t^{3} + t^{2} - - 2 t - 1 = 0 (t = \cos x) \\ \Leftrightarrow (t^{2} - 1) (2 t + 1) = 0 \\ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = 1 \\ t = - 1 \\ t = - \frac{1}{2} \end{array} \end{array}$

Trên đường tròn đơn vị, các điểm nghiệm của phương trình là 4 điểm A, B, C, D như hình vẽ. Do đó trên nửa khoảng $[- π; 0)$ , phương trình có đúng 2 nghiệm (là $- π$ và $- \frac{2 π}{3}$ ).

Câu 45:

17/06/2026

Cho $a, b, c \in R$ sao cho hàm số $y = x^{3} + a x^{2} + b x + c$ đạt cực trị tại x = 3, đồng thời có $y (0) = 3$ và $y (3) = 3$ . Hỏi trong không gian Oxyz, điểm $M (a; b; c)$ nằm trong mặt cầu nào sau đây?

A. ${(x - 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} + {(z + 5)}^{2} = 130.$

B. ${(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 40.$

C. $x^{2} + y^{2} + {(z + 5)}^{2} = 90.$

D. ${(x + 5)}^{2} + {(y - 7)}^{2} + {(z + 3)}^{2} = 42.$

Xem đáp án

Đáp án D.

Từ $y (0) = 3$ và $y (3) = 3$ , ta có:

$\{\begin{cases} c = 3 \\ 27 + 9 a + 3 b + c = 3 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} c = 3 \\ 3 a + b = - 9 \end{cases}$

Hàm số đạt cực trị tại x = 3 nên

$y' (3) = 0 \Leftrightarrow {3.3}^{2} + 2 a .3 + b = 0 \Leftrightarrow 6 a + b = - 27.$

Do đó $a = - 6; b = 9; c = 3.$ Do đó: $M (- 6; 9; 3)$ nằm trong mặt cầu ở đáp án D.

Chú ý: Điểm M nằm trong mặt cầu tâm I bán kính R khi và chỉ khi $I M \leq R .$

Câu 46:

17/06/2026

Giải phương trình

$\log_{3} (x^{4} - x^{3} + 50 x^{2} - 60 x + 20) = 3 \log_{27} (13 x^{3} - 11 x^{2} + 22 x - 2)$

ta được bốn nghiệm a, b, c, d với a < b < c < d. Tính $P = a^{2} + c^{2} .$

A. P = 32.

B. P = 42.

C. P = 22.

D. P = 72.

Xem đáp án

Đáp án A

Từ phương trình ta suy ra

$\begin{array}{l} x^{4} - x^{3} + 50 x^{2} - 60 x + 20 = 13 x^{3} - 11 x^{2} + 22 x - 2 \\ \Leftrightarrow x^{4} - 14 x^{3} + 61 x^{2} - 82 x + 22 = 0 \\ \Leftrightarrow (x^{4} - 8 x + 11) (x^{2} - 6 x + 2) = 0 \\ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 3 - \sqrt{7} \\ x = 4 - \sqrt{5} \\ x = 3 + \sqrt{7} \\ x = 4 + \sqrt{5} \end{array} \end{array}$

Ta đã biết phương trình đã cho có 4 nghiệm nên ta có

$a = 3 - \sqrt{7}; c = 3 + \sqrt{7} .$

Do đó $P = a^{2} + c^{2} = 32.$

Câu 47:

17/06/2026

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B với AB = BC = a,

AD = 2a. Biết SA vuông góc với mặt phằng (ABCD) và $S A = a \sqrt{5} .$ Côsin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) bằng

A. $\frac{2 \sqrt{21}}{21} .$

B. $\frac{\sqrt{21}}{12} .$

C. $\frac{\sqrt{21}}{6} .$

D. $\frac{\sqrt{21}}{21} .$

Xem đáp án

Đáp án đúng là C.

Lời giải

Không mất tính tổng quát, giả sử a = 1

Xét hệ trục tọa độ Oxyz với

$A (0; 0; 0); D (2; 0; 0);$

$B (0; 1; 0); S (0; 0; \sqrt{5}) .$

Điểm C thỏa mãn

$\vec{B C} = \frac{1}{2} \vec{A D} = (1; 0; 0)$

$\Rightarrow C (1; 1; 0) .$

mp(SBC) có

$\vec{n_{1}} = [\vec{S B}; \vec{B C}] = [(0; 1; - \sqrt{5}); (1; 0; 0)]$

$= (0; - \sqrt{5}; - 1) .$

mp(SCD) có

$\vec{n_{2}} = [\vec{S D}; \vec{C D}] = [(2; 0; - \sqrt{5}); (1; - 1; 0)] = (\sqrt{5}; \sqrt{5}; 2) .$

Do đó côsin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) bằng:

$\cos α = |\frac{\vec{n_{1}} . \vec{n_{2}}}{|n_{1}| . |n_{2}|}| = \frac{\sqrt{7}}{2 \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{21}}{6} .$

*Phương pháp giải:

Sử dụng tích có hướng để tính được vecto pháp tuyến của SBC và SCD

Dùng công thức tính góc giữa 2 mặt phẳng

*Lý thuyết:

1. Định nghĩa

2. Tính chất

Công thức tính góc giữa hai mặt phẳng

Xem thêm

Góc giữa hai mặt phẳng (lý thuyết, công thức) các dạng bài tập và cách giải

TOP 40 câu Trắc nghiệm Hai mặt phẳng vuông góc (có đáp án ) – Toán 11

Câu 48:

17/06/2026

Gọi $S = (- \infty; \frac{a}{b}]$ (với $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản, $a \in Z, b \in N^{*}$ ) là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m sao cho phương trình $\sqrt{2 x^{2} + m x + 1} = x + 3$ có hai nghiệm phân biệt. Tính $B = a^{2} - b^{3} .$

A. B = 334.

B. $B = - 440$ .

C. B = 1018.

D. B = 8.

Xem đáp án

Đáp án A.

Phương trình đã cho tương đương với:

$\{\begin{cases} 2 x^{2} + m x + 1 = x^{2} + 6 x + 9 \\ x \geq - 3 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x^{2} + (m - 6) x - 8 = 0 (1) \\ x \geq - 3 \end{cases}$

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì (1) phải có 2 nghiệm phân biệt $x_{2} > x_{1} \geq - 3$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} Δ > 0 \\ x_{1} + x_{2} \geq - 6 \\ (x_{1} + 3) (x_{2} + 3) \geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} {(m - 6)}^{2} + 32 > 0 \\ - (m - 6) \geq - 6 \\ - 8 + 3. (- m + 6) + 9 \geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 6 - m \geq - 6 \\ 19 - 3 m \geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m \leq 12 \\ m \leq \frac{19}{3} \end{cases} \Leftrightarrow m \leq \frac{19}{3}$

Do đó

$\frac{a}{b} = \frac{19}{3} \Rightarrow \{\begin{cases} a = 19 \\ b = 3 \end{cases} \Rightarrow B = a^{2} - b^{3} = 19^{2} - 3^{3} = 334.$

Câu 49:

17/06/2026

Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’. Gọi P là trọng tâm tam giác A’B’C’ và Q là trung điểm của BC. Tính tỉ số thể tích giữa hai khối tứ điện B’PAQ và A’ABC

A. $\frac{1}{2} .$

B. $\frac{2}{3} .$

C. $\frac{3}{4} .$

D. $\frac{1}{3} .$

Xem đáp án

Đáp án A.

Gọi M là trung điểm của $B' C' \Rightarrow A, M, P$ thẳng hàng.

Do đó $S_{P A Q} = \frac{1}{2} S_{A A' M Q} .$

$V_{B' . P A Q} = \frac{1}{2} V_{B' . A A' M Q} .$ Dễ thấy

$V_{B' . A B Q} = \frac{1}{3} V_{B' A' M . B A Q} \Rightarrow V_{B' . A A' M Q} = \frac{2}{3} V_{B' A' M . B A Q} = \frac{2}{3} . \frac{1}{2} V_{A' B' C' . A B C}$

$\Rightarrow V_{P A Q} = \frac{1}{2} . \frac{2}{3} . \frac{1}{2} .3 V_{A' . A B C} = \frac{1}{2} V_{A' A B C} .$

Câu 50:

17/06/2026

Trên tập hợp số phức cho phương trình $z^{2} + b z + c = 0$ với $b, c \in R .$ Biết rằng hai nghiệm của phương trình có dạng $w + 3$ và $3 w - 8 i + 13$ với $w$ là số phức. Tính $S = b^{2} - c^{3} .$

A. S = -496.

B. S = 0.

C. S = -26.

D. S = 8.

Xem đáp án

Đáp án A.

Đặt

$z_{1} = w + 3 = m + n i; z_{2} = 3 w - 8 i + 13 = m - n i .$

Ta có:

$w = z_{1} - 3 = \frac{z_{2} + 8 i - 13}{3} \Rightarrow m + n i - 3 = \frac{1}{3} (m - n i + 8 i - 13) \Leftrightarrow 2 m + 4 + (4 n - 8) i = 0 \Leftrightarrow \{\begin{cases} m = - 2 \\ n = 2 \end{cases}$

Do đó:

$\{\begin{cases} - b = z_{1} + z_{2} = 2 m = - 4 \\ c = z_{1} z_{2} = (- 2 + 2 i) (- 2 - 2 i) = 4 - 4 i^{2} = 8 \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} b = 4 \\ c = 8 \end{cases} .$

Do đó $b^{2} - c^{3} = 4^{2} - 8^{3} = - 496.$

Lớp 1 - Cánh diều

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Chân trời sáng tạo

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Kết nối tri thức

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 1 lên lớp 2

Lớp 2 - Kết nối tri thức

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Lớp 2 - Cánh diều

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Đạo đức lớp 2

Lớp 2 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 2 lên lớp 3

Lớp 3 - Kết nối tri thức

Toán lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Cánh diều

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 3 lên lớp 4

Lớp 3 - Sách cũ

Tiếng Anh 3