Biết $\lim \frac{2a{n}^3-6n^2+2}{n^3+n}=4$ với a là tham số. Lúc đó $a^4-a$ bằng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B với AB = BC = a,

AD = 2a. Biết SA vuông góc với mặt phằng (ABCD) và $SA=a\sqrt{5}.$ Côsin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) bằng

Cho các số thực a, m, n và a dương. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, $ABC=60°,$ mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi H, M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, SA, SD và P là giao điểm của (HMN) với CD. Khoảng cách từ trung điểm của đoạn thẳng SP đến mặt phẳng (HMN) bằng

Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đường $\left(P\right):y=2x^2,$ parabol tiếp tuyến của (P) tại M (1;2) và trục Oy là

Số nghiệm thuộc nửa khoảng $[-\pi ;0)$ của phương trình $\cos x-\cos 2x-\cos 3x+1=0$ là

Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số $y=\left|\frac{2}{3}{x}^3-2x^2+1\right|$ trên $\left(-\frac{8}{3};3\right).$ Biết $M=\frac{a}{b}$ với $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản $a\in Z,b\in N^{*}.$ Tính $S=a+b^3.$

Cho hai số phức $z_1,z_2$ thỏa mãn $\left|z_1\right|=\left|z_2\right|=\sqrt{17}.$ Gọi M, N lần lượt là các điểm biểu diễn $z_1,z_2$ trên mặt phẳng tọa độ. Biết $MN=3\sqrt{2},$ gọi H là đỉnh thứ tư của hình bình hành OMHN và K là trung điểm của ON. Tính $l=KH.$

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng $\left(P\right):3x-y-3z+2=0$ và $\left(Q\right):-4x+y+2z+1=0.$ Phương trình đường thẳng đi qua gốc tọa độ O và song song với 2 đường thẳng (P) và (Q) là:

Có một khối cầu bằng gỗ bán kính R = 10cm. Sau khi cưa bằng hai chỏm cầu có bán kính đáy bằng $\frac{1}{2}R$ đối xứng nhau qua tâm của khối cầu, một người thợ mộc đục xuyên tâm của khối cầu gỗ. Người thợ mộc đã đục bỏ đi phần hình hộp chữ nhật có trục của nó trùng với trục hình cầu và có hai mặt lần lượt nằm trên hai mặt phẳng chứa hai đáy của chỏm cầu; hai mặt này là hai hình vuông có đường chéo bằng R (tham khảo hình vẽ bên).

Tính thể tích V của phần còn lại của khối cầu (làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba)

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(5;7;6) và B(2;4;3). Trên mặt phẳng (Oxy), lấy điểm M(a;b;c) sao cho MA + MB bé nhất. Tính $P=a^2+b^3-c^4.$

Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=\sqrt{1-x^2}+2\sqrt[3]{{\left(1-x^2\right)}^2}.$ Hỏi điểm $A\left(M;m\right)$ thuộc đường tròn nào sau đây?

Giải phương trình

$$\begin{gathered} {\log }_3\left(x^4-x^3+50x^2-60x+20\right) \\ =3{\log }_{27}\left(13x^3-11x^2+22x-2\right) \end{gathered}$$ 

ta được bốn nghiệm a, b, c, d với a < b < c < d. Tính $P=a^2+c^2.$

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, AB = BC = 6cm và SB vuông góc với mặt phẳng (ABC). Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC là

Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’. Gọi P là trọng tâm tam giác A’B’C’ và Q là trung điểm của BC. Tính tỉ số thể tích giữa hai khối tứ điện B’PAQ và A’ABC

Cho hình nón tròn xoay có chiều cao h = 37 cm, nếu cắt hình nón bởi mặt phẳng qua trục ta được một tam giác đều. Tính diện tích xung quanh $S_{xq}$ của hình nón (làm tròn đến chữ số thập phân thức ba).