Đáp án D.

Phương pháp: 

Xác định khoảng mà $f\text{'}\left(x\right)\ge 0,$ ($f\text{'}\left(x\right)=0$ tại hữu hạn điểm trên khoảng đó).

Cách giải:

Hàm số $y=f\left(x\right)$ đồng biến trên khoảng $\left(-1;2\right).$

Đáp án C.

Phương pháp:

Mặt phẳng $\left(P\right):Ax+By+Cz+D=0$ có 1 VTPT là $\overrightarrow{n}=\left(A;B;C\right).$ 

Cách giải:

$\left(P\right):x-4y+3z-2=0$ có một vecto pháp tuyến là $\overrightarrow{n_3}=\left(-1;4;-3\right).$

Đáp án A.

Phương pháp: 

Số phức liên hợp của số phức $z=a+bi,$ $a,b\in \text{R}$

là số phức $\overline{z}=a-bi,$ $a,b\in \text{R}$

Cách giải:

Số phức liên hợp của số phức $z=3+2i$ là $\overline{z}=3-2i.$

Đáp án B.

Phương pháp: 

$\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,n\ne -1$ 

Cách giải:

$$\begin{gathered} \int \frac{1}{x^2}dx=\int x^{-2}dx \\ =\frac{x^{-1}}{-1}+C \\ =-\frac{1}{x}+C \end{gathered}$$ 

Đáp án đúng: A.

*Lời giải:         

Số cách chọn 3 học sinh từ 5 học sinh là $C_5^3.$

*Phương pháp giải:

- áp dụng công thức tổ hợp ( do chọn ra 3 học sinh từ 5 học sinh nhưng không sắp xếp ):

*Lý thuyến cần nắm về tổ hợp - xác suất

1. Quy tắc cộng: Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động. Nếu hành động này có m cách thực hiện, hành động kia có n cách thực hiện không trùng với bất kì cách nào của hành động thứ nhất thì công việc đó có m+n cách thực hiện.

2. Quy tắc nhân: Một công việc được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp. Nếu có m cách thực hiện hành động thứ nhất và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện hành động thứ hai thì có m.n cách hoàn thành công việc.

3. Hoán vị:

Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1).

- Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử.

- Số các hoán vị của n phần tử là: Pn = n(n-1)...2.1 = n!

4. Chỉnh hợp:

Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1).

- Kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho.

- Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử là:

5. Tổ hợp:

Giả sử A có n phần tử (n ≥ 1).

- Mỗi tập hợp gồm k phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho. (1 ≤ k ≤ n).

Số các tổ hợp chập k của n phần tử là:

6. Công thức nhị thức Niu-tơn:

    (a + b)n = Cn0an + Cn1an - 1b + … + Cnkan - kbk + … + Cnn-1abn-1 + Cnnbn

7. Phép toán trên các biến cố:

- Giả sử A là biến cố liên quan đến một phép thử.

Khi đó, tập Ω\A được gọi là biến cố đối của biến cố A, kí hiệu là A−.

- Giả sử A và B là hai biến cố liên quan đến một phép thử:

    + Tập A ⋃ B được gọi là hợp của các biến cố A và B.

    + Tập A ⋂ B được gọi là giao của các biến cố A và B.

    + Nếu A ⋂ B = ∅ thì ta nói A và B xung khắc.

8. Xác suất của biến cố:

Giả sử A là biến cố liên quan đến phép thử chỉ có một số hữu hạn kết quả đồng khả năng xuất hiện. Khi đó, xác suất của biến cố A là: 

trong đó: n(A) là số phần tử của A; còn n(Ω) là số các kết quả có thể xảy ra của phép thử.

9. Tính chất của xác suất:

Giả sử A và B là các biến cố liên quan đến một phép thử có một số hữu hạn kết quả đồng khả năng xuất hiện.

    P(∅) = 0, P(Ω) = 1

    0 ≤ P(A) ≤ 1, với mọi biến cố A.

    Nếu A và B xung khắc, thì P(AB) = P(A) + P(B) (công thức cộng xác suất)

    Với mọi biến cố A, ta có: P(A−) = 1 – P(A).

    A và B là hai biến cố độc lập khi và chỉ khi P(A.B) = P(A).P(B).

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết

Lý thuyết Tổ hợp - xác suất hay, chi tiết 

Giải Toán 11 Chương 2: Tổ hợp – xác suất 

Các dạng bài tập Tổ hợp - Xác suất 

Đáp án D.

Phương pháp: 

Vecto $\overrightarrow{u}=x.\overrightarrow{i}+y.\overrightarrow{j}+z.\overrightarrow{k}$ có tọa độ $\overrightarrow{u}=\left(x;y;z\right)$ 

Cho hai vecto $\overrightarrow{a}=\left(x_1;y_1;z_1\right),$ $$\begin{gathered} \overrightarrow{b}=\left(x_2;y_2;z_2\right) \\ \Rightarrow \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=x_1{x}_2+y_1{y}_2+z_1{z}_2 \end{gathered}$$ 

Cách giải:

$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{i}-3\overrightarrow{k}\Rightarrow \overrightarrow{b}=\left(1;0;-3\right)$ 

Khi đó,

$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=2.1+\left(-1\right).0+4.\left(-3\right)=-10$ 

Đáp án C.         

Phương pháp:

Sử dụng công thức ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng.

Cách giải:

Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số đó và các đường thẳng $x=a,x=b$ được tính theo công thức $S=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left|f\left(x\right)-g\left(x\right)\right|dx.$ 

Đáp án C.         

Phương pháp:

Sử dụng công thức ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng.

Cách giải:

Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số đó và các đường thẳng $x=a,x=b$ được tính theo công thức $S=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left|f\left(x\right)-g\left(x\right)\right|dx.$ 

Đáp án B.

Phương pháp: 

Thể tích khối hộp chữ nhật có chiều dài a, chiều rộng b, chiều cao c là $V=abc.$   

Cách giải:

$V=\mathrm{6.6.5}=180.$ 

Đáp án C.

Phương pháp: 

Sử dụng các công thức của logarit: 

${\log }_a\frac{b}{c}={\log }_{a}b-{\log }_{a}c,\left(a,b,c>0,a\ne 1\right)$ 

${\log }_a{b}^c=c{\log }_{a}b,\left(a,b>0,a\ne 1\right)$ 

Cách giải:

${\log }_3\frac{3}{a^2}={\log }_{3}3-{\log }_3{a}^2=1-2{\log }_{3}a.$

Đáp án A.

Phương pháp:

Chia cả tử và mẫu cho x và sử dụng giới hạn $\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{1}{x}=0.$ 

Cách giải:

$$\begin{gathered} \underset{x\to \infty }{\lim }\frac{2x-1}{3-x} \\ =\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{2-\frac{1}{x}}{\frac{3}{x}-1} \\ =\frac{2}{-1}=-2. \end{gathered}$$

Đáp án D.

Phương pháp: 

Thể tích của khối nón:

$V_{non}=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$

(Trong đó, r: bán kính đáy,  l: độ dài đường sinh, h: độ dài đường cao).

Cách giải:

$$\begin{gathered} V_{non}=\frac{1}{3}\pi r^{2}h \\ =\frac{1}{3}\pi {.3}^2.6=18\pi . \end{gathered}$$ 

Đáp án C.

Phương pháp: 

$$\begin{gathered} \mathrm{si}\text{nx}=1\iff x \\ =\frac{\pi }{2}+k2\pi ,k\in Z. \end{gathered}$$ 

Cách giải:

$$\begin{gathered} sin\left(x+\frac{\pi }{6}\right)=1 \\ \iff x+\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{2}+k2\pi \left(k\in Z\right) \\ \iff x=\frac{\pi }{3}+k2\pi \left(k\in Z\right) \end{gathered}$$ 

Đáp án D.

Phương pháp:

Nhận dạng đồ thị các hàm số hàm số bậc ba.

Cách giải:

Ta thấy, khi $x\to +\infty$ thì $y\to +\infty \Rightarrow$ Hàm số bậc ba $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ có $a>0.$ 

$\Rightarrow$ Loại bỏ phương án A và B.

Quan sát đồ thị ta thấy hàm số đạt cực trị tại $x_1=0,x_2>0.$ 

Xét hàm số

$$\begin{gathered} y=x^3+3x^2+1\Rightarrow y\text{'} \\ =3x^2+6x,y\text{'}=0 \\ \iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=-2<0\end{array}\right. \end{gathered}$$ 

$\Rightarrow$ Loại bỏ phương án C.

Đáp án A.

Phương pháp: 

Xét hàm số $y={\log }_{a}x:$ 

*Nếu $0<a<1:$ Hàm số nghịch biến trên $\left(0;+\infty \right)$ 

*Nếu $a>1:$ Hàm số đồng biến trên $\left(0;+\infty \right)$.

Cách giải:

$$\begin{gathered} {\log }_{\frac{1}{2}}\left(x-3\right)\ge {\log }_{\frac{1}{2}}4 \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x-3>0\\ x-3\le 4\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x>3\\ x\le 7\end{array}\right. \\ \iff 3<x\le 7 \end{gathered}$$

Đáp án C.

Phương pháp:

Phương trình tham số của đường thẳng đi qua $M\left(x_0;y_0;z_0\right)$ và có 1 VTCP là $\overrightarrow{u}\left(a;b;c\right)$

là $\left\{\begin{array}{l}x=x_0+at\\ y=y_0+bt\\ z=z_0+ct\end{array}\right..$ 

Cách giải:

Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm $M\left(3;-1;2\right)$ và có VTCP $\overrightarrow{u}=\left(4;5;-7\right)$ là $\left\{\begin{array}{l}x=3+4t\\ y=-1+5t\\ z=2-7t\end{array}\right..$

Đáp án B.

Phương pháp: 

* Định nghĩa tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=f\left(x\right).$ 

Nếu $\underset{x\to a^{+}}{\lim }f\left(x\right)=+\infty$ hoặc $\underset{x\to a^{+}}{\lim }f\left(x\right)=-\infty$ hoặc $\underset{x\to a^{-}}{\lim }f\left(x\right)=+\infty$ hoặc $\underset{x\to a^{-}}{\lim }f\left(x\right)=-\infty$ thì $x=a.$

Cách giải:

Xét hàm số $y=\frac{2x-3}{2x+1}$ có:

$$\begin{gathered} \underset{x\to {\frac{1}{2}}^{+}}{\lim }\frac{2x-3}{2x+1}=-\infty ; \\ \underset{x\to {\frac{1}{2}}^{-}}{\lim }\frac{2x-3}{2x+1}=+\infty \Rightarrow \end{gathered}$$

Đồ thị hàm số có TCĐ là

$x=-\frac{1}{2}.$ 

Đáp án C.

Phương pháp:

Giải phương trình hoành độ giao điểm.

Cách giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (C):

$x^2=x^4-3x^2-2\iff x^4-4x^2-2=0\left(1\right)$ 

Đặt $x^2=t,t\ge 0,$ phương trình (1) trở thành

$$\begin{gathered} t^2-4t-2=0 \\ \iff \left\{\begin{array}{l}{t}_1=2+\sqrt{6}>0\left(tm\right)\\ t_2=2-\sqrt{6}<0\left(ktm\right)\end{array}\right. \end{gathered}$$ 

$\Rightarrow$Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt.

$\Rightarrow$ (C) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt. 

Đáp án D.

Phương pháp: 

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}\cos xdx=\sin x\left|{}_a^b\right.$ 

Cách giải:

$$\begin{gathered} \underset{0}{\overset{\frac{\pi }{3}}{\int }}cos2xdx=\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{3}}{\int }}cos2xd\left(2x\right) \\ =\frac{1}{2}\sin 2x\left|\begin{array}{l}{}^{\frac{\pi }{3}}\\ 0\end{array}\right. \\ =\frac{1}{2}\sin \frac{2\pi }{3}-\frac{1}{2}\sin 0 \\ =\frac{1}{2}.\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4} \end{gathered}$$ 

Đáp án C.

Phương pháp: 

Số nghiệm của phương trình $f\left(x\right)=m$ bằng số giao điểm của đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ và đường thẳng $y=m.$ 

Cách giải:

Số nghiệm của phương trình $f\left(x\right)=1$ bằng số giao điểm của đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ và đường thẳng $y=1.$ 

Quan sát đồ thị ta thấy, trên khoảng $\left(-\infty ;2\right)$ đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$  cắt đường thẳng $y=1$ tại 2 điểm phân biệt.

Vậy, phương trình $f\left(x\right)=1$ có hai nghiệm thực phân biệt nhỏ hơn 2.

Đáp án B.

Phương pháp:

Đưa về cùng cơ số.

Cách giải:

$$\begin{gathered} 2^{x^2+2x}=8 \\ \iff 2^{x^2+2x} \\ =2^{3\left(2-x\right)} \\ \iff x^2+2x=6-3x \\ \iff x^2+5x-6=0 \end{gathered}$$ 

Phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ và $x_1+x_2=-\frac{5}{1}=-5.$ 

Đáp án A.

Phương pháp: 

Xác định góc giữa hai mặt phẳng $\left(\alpha \right),\left(\beta \right):$

- Tìm giao tuyến $\Delta$ của $\left(\alpha \right),\left(\beta \right).$ 

- Xác định 1 mặt phẳng $\left(\gamma \right)\perp \Delta .$ 

- Tìm các giao tuyến $a=\left(\alpha \right)\cap \left(\gamma \right),b=\left(\beta \right)\cap \left(\gamma \right)$ 

- Góc giữa hai mặt phẳng $\left(\alpha \right),\left(\beta \right):\left(\left(\alpha \right);\left(\beta \right)\right)=\left(a;b\right).$

Cách giải:

Ta có: $\left(SCD\right)\cap \left(ABCD\right)=CD$ 

Mà $CD\perp AD$ (ABCD là hình vuông), $CD\perp SA$ (vì $SA\perp \left(ABCD\right)$) $\Rightarrow CD\perp \left(SAD\right)$ 

$\left(SCD\right)\cap \left(SAD\right)=SD,$

$$\begin{gathered} \left(ABCD\right)\cap \left(SAD\right)=AD \\ \Rightarrow \left(\left(SCD\right),\left(ABCD\right)\right) \\ =\left(SD;AD\right)=SDA \end{gathered}$$

Đáp án D.

Phương pháp:

Gọi $z=a+bi$, sử dụng công thức tính môđun của số phức.

Cách giải:

Giả sử $z=x+yi,\left(x,y\in \text{R}\right)$ 

Theo đề bài ta có:

$$\begin{gathered} \left|z+3-4i\right|=5 \\ \iff \sqrt{{\left(x+3\right)}^2+{\left(y-4\right)}^2}=5 \\ \iff {\left(x+3\right)}^2+{\left(y-4\right)}^2=25 \end{gathered}$$ 

Vậy, tập hợp điểm trong mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z là đường tròn tâm $I\left(-3;4\right),$ $R=5.$ 

Đáp án D.

Phương pháp: 

Phương pháp tìm GTLN, GTNN của hàm số $y=f\left(x\right)$ trên $\left[a;b\right].$ 

+) Giải phương trình $f\text{'}\left(x\right)=0\Rightarrow$ các nghiệm $x_1\in \left[a;b\right].$ 

+) Tính các giá trị

$f\left(a\right);f\left(b\right);f\left(x_i\right).$ 

+) So sánh và kết luận:

$$\begin{gathered} \underset{\left[a;b\right]}{max}y=max\left\{f\left(a\right);f\left(b\right);f\left(x_i\right)\right\} \\ ;\underset{\left[a;b\right]}{\min }y=\min \left\{f\left(a\right);f\left(b\right);f\left(x_i\right)\right\} \end{gathered}$$ 

Cách giải:

ĐKXĐ: $x>0.$ 

$$\begin{gathered} y=x-3\ln x \\ \Rightarrow y\text{'}=1-\frac{3}{x}=0 \\ \iff x=3\notin \left[1;e\right] \end{gathered}$$ 

$$\begin{gathered} y\left(1\right)=1;y\left(e\right)=e-3 \\ \Rightarrow \underset{\left[1;e\right]}{\min }=e-3 \end{gathered}$$

Đáp án C.

Phương pháp: 

Đặt $z=a+bi,\left(a,b\in R\right),$giải tìm số phức z và tính tổng phần thực, phần ảo: $a+b.$ 

Cách giải:

Đặt $z=a+bi,\left(a,b\in R\right).$

$$\begin{gathered} iz+\left(1-i\right)\overline{z}=-2i \\ \iff i\left(a+bi\right)+\left(1-i\right)\left(a-bi\right)=-2i \\ \iff ai-b+a+bi-ai-b=-2i \end{gathered}$$ 

$$\begin{gathered} \iff -bi+a-2b=-2i \\ \iff \left\{\begin{array}{l}-b=-2\\ a-2b=0\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}b=2\\ a=4\end{array}\right.\Rightarrow a+b=6 \end{gathered}$$ 

Tổng của phần thực và phần ảo là 6.

Câu 26: Đáp án A.

Phương pháp: 

$d^2+r^2=R^2$

Trong đó, d: khoảng cách từ tâm O đến mặt phẳng (P),

r: bán kính đường tròn là giao tuyến của mặt cầu (S) và mặt phẳng (P),

R: bán kính hình cầu.

Cách giải:

$\left(S\right):{\left(x+3\right)}^2+y^2+{\left(z-1\right)}^2=10$ có tâm $I\left(-3;0;1\right),$ bán kính $R=\sqrt{10}.$ 

$\left(S\right)\cap \left(P\right)$ là một đường tròn có bán kính $r=3.$ 

Ta có:

$$\begin{gathered} R^2=d_{\left(I;\left(P\right)\right)}^2+r^2 \\ \iff 10=d_{\left(I;\left(P\right)\right)}^2+3^2 \\ \iff d\left(I;\left(P\right)\right)=1 \end{gathered}$$ 

+) $\left(P_1\right):x+2y-2z+8=0:$ 

$$\begin{gathered} d\left(I;\left(P_1\right)\right) \\ =\frac{\left|-3+2.0-2.1+8\right|}{\sqrt{1^2+2^2+{\left(-2\right)}^2}} \\ =1\Rightarrow \left(P_1\right): \end{gathered}$$

Thỏa mãn.

+) $\left(P_2\right):x+2y-2z-8=0:$ 

$$\begin{gathered} d\left(I;\left(P_2\right)\right) \\ =\frac{\left|-3+2.0-2.1-8\right|}{\sqrt{1^2+2^2+{\left(-2\right)}^2}} \\ =\frac{13}{3}\ne 1\Rightarrow \left(P_2\right): \end{gathered}$$

Không thỏa mãn.

+) $\left(P_3\right):x+2y-2z-2=0:$ 

$$\begin{gathered} d\left(I;\left(P_3\right)\right) \\ =\frac{\left|-3+2.0-2.1-2\right|}{\sqrt{1^2+2^2+{\left(-2\right)}^2}} \\ =\frac{7}{3}\ne 1\Rightarrow \left(P_3\right): \end{gathered}$$

Không thỏa mãn.

+) $\left(P_4\right):x+2y-2z-4=0:$ 

$d\left(I;\left(P_4\right)\right)=\frac{\left|-3+2.0-2.1-4\right|}{\sqrt{1^2+2^2+{\left(-2\right)}^2}}=3\ne 1\Rightarrow \left(P_4\right):$

Không thỏa mãn.

Đáp án A.

Phương pháp: 

+) Tổ hợp chập k của n phần tử:

$C_n^k=\frac{n!}{\left(n-k\right)!k!}.$ 

+) Công thức khai triển nhị thức Newton:

${\left(x+y\right)}^n=\sum _{i=0}^n{C}_n^i{x}^i.y^{n-i}.$ 

Cách giải:

$5C_n^1-C_n^2=5,\left(n\in N,n\ge 2\right)$ 

$$\begin{gathered} \iff 5n-\frac{n\left(n-1\right)}{2}=5 \\ \iff 10n-n^2+n=0 \\ \iff n^2-1\ln +10=0 \\ \iff n=10 \end{gathered}$$ 

Khi đó,

$$\begin{gathered} {\left(2x+\frac{1}{x^2}\right)}^n={\left(2x+x^{-2}\right)}^{10} \\ =\sum _{i=0}^{10}{C}_{10}^i{\left(2x\right)}^i.{\left(x^{-2}\right)}^{10-i}=\sum _{i=0}^{10}{C}_{10}^i{2}^i{x}^{3i-20} \end{gathered}$$ 

Số hạng chứa $x^4$ trong khai triển ứng với i thỏa mãn

$3i-20=4\iff i=8$ 

Hệ số a của $x^4$ trong khai triển:

$a=C_{10}^8{2}^8=11520.$ 

Đáp án C.

Phương pháp: 

Xác suất của biến cố A:

$P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}.$ 

Cách giải:                                            

Số phần tử của không gian mẫu:

$n\left(\Omega \right)=C_9^3$ 

A: “Số học sinh nam nhiều hơn số học sinh nữ”

Ta có 2 trường hợp:  

+) Chọn ra 2 nam, 1 nữ:

+) Chọn ra 3 nam, 0 nữ.

$\Rightarrow n\left(A\right)=C_5^2{C}_4^1+C_5^3$ 

$$\begin{gathered} \Rightarrow P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)} \\ =\frac{C_5^2{C}_4^1+C_5^3}{C_9^3}=\frac{25}{42} \end{gathered}$$ 

Đáp án C.

Phương pháp: 

Công thức lãi kép, không kỳ hạn: $A_n=M{\left(1+r\%\right)}^n$ 

Với: $A_n$ là số tiền nhận được sau tháng thứ n,

        M là số tiền gửi ban đầu,

        n là thời gian gửi tiền (tháng),

        r là lãi suất định kì (%)

Cách giải:

Thời gian người đó gửi: 15/4/2018 đến 15/3/2020 tương ứng với 23 tháng.

Ta có: $$\begin{gathered} A_n=M{\left(1+r\%\right)}^n \\ \iff 50000000 \\ =M{\left(1+0,55\%\right)}^{23} \\ \Rightarrow M\approx 44704000 \end{gathered}$$ (đồng)

Đáp án A.

Phương pháp: 

Sử dụng công thức từng phần:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}udv=uv\left|{}_a^b-\right.\underset{a}{\overset{b}{\int }}vdu.$ 

Cách giải:

$$\begin{gathered} \int x.cos2xdx=\frac{1}{2}xd\left(\sin 2x\right) \\ =\frac{1}{2}x\sin 2x-\frac{1}{2}\int \sin 2xdx+C \\ =\frac{1}{2}x\sin 2x+\frac{1}{4}cos2x+C \end{gathered}$$ 

$$\begin{gathered} =ax\sin 2x+b\cos 2x+C \\ \Rightarrow a=\frac{1}{2};b=\frac{1}{4}\Rightarrow ab=\frac{1}{8} \end{gathered}$$ 

Đáp án B.

Phương pháp: 

Mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ nhận $\overrightarrow{i}\left(1;0;0\right),\overrightarrow{OM}=\left(1;-1;2\right)$ là cặp vecto chỉ phương $\Rightarrow \overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{i};\overrightarrow{OM}\right]$ là một vecto pháp tuyến của $\left(\alpha \right)$

Cách giải:

$\left(\alpha \right)$ là mặt phẳng đi qua $M\left(1;-1;2\right)$ và chứa trục Ox $\Rightarrow \left(\alpha \right)$ nhận $\overrightarrow{i}\left(1;0;0\right),\overrightarrow{OM}=\left(1;-1;2\right)$ là cặp vecto chỉ phương $\Rightarrow \overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{i};\overrightarrow{OM}\right]=\left(0;-2;-1\right)$ là một vecto pháp tuyến của $\left(\alpha \right)$.

$\left(\alpha \right):0.\left(x-0\right)-2.\left(y-0\right)-1\left(z-0\right)=0\iff 2y+z=0$ 

Dễ dàng kiểm tra $N\left(2;2;-4\right)\in \left(\alpha \right)$ 

Đáp án A.

Phương pháp:

Cho hai hàm số $y=f\left(x\right)$ và $y=g\left(x\right)$ liên tục trên $\left[a;b\right].$ Khi đó thể tích vật thể tròn xoay giới hạn bởi hai đồ thị số $y=f\left(x\right)$, $y=g\left(x\right)$ và hai đường thẳng $x=a;y=b$ khi quay quanh trục Ox là:

$V=\pi {\int }_a^b\left|f^2\left(x\right)-g^2\left(x\right)\right|dx$ 

Cách giải:

Phương trình hoành độ giao điểm: $x^2=2x\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=2\end{array}\right.$ 

Thể tích cần tìm :

$$\begin{gathered} V=\pi \underset{0}{\overset{2}{\int }}\left|{\left(x^2\right)}^2-{\left(2x\right)}^2\right|dx \\ =\pi {\int }_0^2\left|x^4-4x^2\right|dx \\ =\left|\pi {\int }_0^2\left(x^4-4x^2\right)dx\right| \\ =\left|\pi \left(\frac{1}{5}{x}^5-\frac{4}{3}{x}^3\right)\left|\begin{array}{l}{}^2\\ {}_0\end{array}\right.\right|. \end{gathered}$$ 

$$\begin{gathered} =\left|\pi \left(\frac{32}{5}-\frac{32}{3}\right)\right| \\ =\frac{64\pi }{15} \end{gathered}$$

Đáp án B.

Phương pháp: 

Hàm số $y=f\left(x\right)$ đạt cực tiểu tại

$M\left(x_0;y_0\right)\iff \left\{\begin{array}{l}f\left(x_0\right)=y_0\\ f\text{'}\left(x_0\right)=0\\ f\text{'}\text{'}\left(x_0\right)>0\end{array}\right.$ 

Cách giải:

$$\begin{gathered} y=\frac{1}{3}{s}^3-\frac{1}{2}\left(2m+3\right)x^2+\left(m^2+3m-4\right)x \\ =f\left(x\right) \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} \Rightarrow y\text{'}=f\text{'}\left(x\right) \\ =x^3-\left(2m+3\right)x+m^2+3m-4, \end{gathered}$$

$y"=f"\left(x\right)=2x-3m-3$ 

Hàm số

$y=\frac{1}{3}{x}^3-\frac{1}{2}\left(2m+3\right)x^3+\left(m^2+3m-4\right)x$

đạt cực tiểu tại

$x=1\iff \left\{\begin{array}{l}f\text{'}\left(1\right)=0\\ f"\left(1\right)>0\end{array}\right.$ 

$$\begin{gathered} \iff \left\{\begin{array}{l}1-3m-3+m^2+3m-4=0\\ 2-2m-3>0\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}{m}^2+m-6=0\\ m<-\frac{1}{2}\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\left[\begin{array}{l}m=-3\\ m=2\end{array}\right.\\ m<-\frac{1}{2}\end{array}\right.\iff m=-3. \end{gathered}$$

Đáp án D.

Phương pháp:

$x_1<0,x_2>0\iff 3^{x_1}<1;3^{x_2}>1$ 

Cách giải:

Xét phương trình:

$9^x-2\left(m+1\right)3^x+6m-3=0\left(1\right)$ 

Đặt $3^x=t,t>0.$ 

Phương trình (1) trở thành:

$t^2-2\left(m+1\right)t+6m-3=0\left(2\right)$ 

Tìm m để (1) có 2 nghiệm $x_1,x_2$ trái dấu

$\iff$ Tìm m để (2) có 2 nghiệm $t_1,t_2,\left(t_1<t_2\right)$ 

sao cho

$$\begin{gathered} \iff \left\{\begin{array}{l}\Delta \text{'}>0\\ t_1{t}_2>0\\ t_1+t_2>0\\ t_1-1<0\\ t_2-1>0\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}{\left(m+1\right)}^2-\left(6m-3\right)>0\\ t_1{t}_2>0\\ t_1+t_2>0\\ \left(t_1-1\right)\left(t_2-1\right)<0\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}{m}^2-4m+4>0\\ t_1{t}_2>0\\ t_1+t_2>0\\ t_1{t}_2-\left(t_1+t_2\right)<0\end{array}\right. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \iff \left\{\begin{array}{l}{\left(m-2\right)}^2>0\\ 6m-3>0\\ 2\left(m+1\right)>0\\ 6m-3-2\left(m+1\right)+1<0\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}m\ne 2\\ m>{\frac{1}{2}}_1\\ m>-1\\ m<1\end{array}\right.\iff \frac{1}{2}<m<1 \end{gathered}$$

Đáp án D.

Phương pháp: 

Hàm số bậc nhất trên bậc nhất $y=\frac{ax+b}{cx+d},\left(a,c,ad-cd\ne 0\right)$ có

TXĐ: $x=-\frac{d}{c},TCN:y=\frac{a}{c}.$