13 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Bài tập Tích vô hướng của hai vectơ có đáp án

Câu 1:

17/06/2026

Trong vật lí, nếu có một lực $\vec{F}$ tác động lên một vật tại điểm O và làm cho vật đó di chuyển một quãng đường s = OM (Hình 63) thì công A của lực $\vec{F}$ được tính theo công thức $A = |\vec{F}| . |\vec{O M}| . \cos φ$ trong đó $|\vec{F}|$ gọi là cường độ của lực $\vec{F}$ tính bằng Newton (N), $|\vec{O M}|$ là độ dài của vectơ $\vec{O M}$ tính bằng mét (m), φ là góc giữa hai vectơ $\vec{O M}$ và $\vec{F}$ , còn công A tính bằng Jun (J).

Trong vật lí, nếu có một lực F tác động lên một vật tại điểm O và làm cho vật đó di chuyển một quãng đường s = OM (ảnh 1)

Trong toán học, giá trị của biểu thức $A = |\vec{F}| . |\vec{O M}| . \cos φ$ (không kể đơn vị đo) được gọi là gì?

Xem đáp án

Giá trị của biểu thức $A = |\vec{F}| . |\vec{O M}| . \cos φ$ là tích vô hướng của hai vectơ $\vec{F}$ và $\vec{O M}$ .

Câu 2:

17/06/2026

Cho tam giác ABC vuông tại A có $\hat{B} = 30 °$ , AB = 3 cm. Tính $\vec{B A} . \vec{B C}; \vec{C A} . \vec{C B}$ .

Xem đáp án

Ta có tam giác ABC vuông ở A nên $\hat{B} + \hat{C} = 90 °$

$\Rightarrow \hat{C} = 90 ° - \hat{B} = 90 ° - 30 ° = 60 °$ .

Lại có: tan B = $\frac{A C}{A B}$ ⇒ AC = AB . tanB = 3 . tan 30° = $\sqrt{3}$ .

Và sin B = $\frac{A C}{B C}$ ⇒ BC = $\frac{A C}{\sin B}$ $= \frac{\sqrt{3}}{\sin 30 °} = 2 \sqrt{3}$ .

Ta có: $\vec{B A} . \vec{B C} =$ $|\vec{B A}| . |\vec{B C}| . \cos (\vec{B A}, \vec{B C})$ = $3 . 2 \sqrt{3} . \cos \hat{A B C}$ = $6 \sqrt{3} . \cos 30 ° = 9$ .

$\vec{C A} . \vec{C B}$ = $|\vec{C A}| . |\vec{C B}| . \cos (\vec{C A}, \vec{C B})$ = $\sqrt{3} . 2 \sqrt{3} . \cos \hat{A C B}$ = 6 . cos 60° = 3.

Câu 3:

17/06/2026

Cho tam giác ABC đều cạnh a, AH là đường cao. Tính:

a) $\vec{C B} . \vec{B A}$ ;

b) $\vec{A H} . \vec{B C}$ .

Xem đáp án

a) Tam giác ABC đều nên $\hat{A} = \hat{B} = \hat{C} = 60 °$ và AB = BC = AC = a.

Lại có: $(\vec{B C}, \vec{B A}) = \hat{A B C} = 60 °$ .

Ta có: $\vec{C B} . \vec{B A} = (- \vec{B C}) . \vec{B A}$ $= - (\vec{B C} . \vec{B A})$

$= - (|\vec{B C}| . |\vec{B A}| . \cos (\vec{B C}, \vec{B A}))$

$= - (a . a . \cos 60 °) = \frac{- a^{2}}{2}$ .

Vậy $\vec{C B} . \vec{B A} = \frac{- a^{2}}{2}$ .

b) Do AH là đường cao của tam giác ABC nên AH ⊥ BC.

Do đó: $\vec{A H} ⊥ \vec{B C}$ nên $\vec{A H} . \vec{B C} = 0$ .

Câu 4:

17/06/2026

Chứng minh rằng với hai vectơ bất kì $\vec{a}, \vec{b}$ , ta có: ${(\vec{a} + \vec{b})}^{2} = {\vec{a}}^{2} + 2 \vec{a} . \vec{b} + {\vec{b}}^{2}$

${(\vec{a} - \vec{b})}^{2} = {\vec{a}}^{2} - 2 \vec{a} . \vec{b} + {\vec{b}}^{2}$

$(\vec{a} - \vec{b}) . (\vec{a} + \vec{b}) = {\vec{a}}^{2} - {\vec{b}}^{2}$

Xem đáp án

+ Ta có:

${(\vec{a} + \vec{b})}^{2} = (\vec{a} + \vec{b}) . (\vec{a} + \vec{b})$ (bình phương vô hướng của vectơ )

$= \vec{a} . \vec{a} + \vec{a} . \vec{b} + \vec{b} . \vec{a} + \vec{b} . \vec{b}$

$= {\vec{a}}^{2} + \vec{a} . \vec{b} + \vec{a} . \vec{b} + {\vec{b}}^{2}$ (áp dụng tính chất giao hoán)

$= {\vec{a}}^{2} + 2 \vec{a} . \vec{b} + {\vec{b}}^{2}$

Vậy ${(\vec{a} + \vec{b})}^{2} = {\vec{a}}^{2} + 2 \vec{a} . \vec{b} + {\vec{b}}^{2}$ .

+ Ta có:

${(\vec{a} - \vec{b})}^{2} = (\vec{a} - \vec{b}) . (\vec{a} - \vec{b})$ (bình phương vô hướng của vectơ )

$= \vec{a} . \vec{a} - \vec{a} . \vec{b} - \vec{b} . \vec{a} + (- \vec{b}) . (- \vec{b})$

$= {\vec{a}}^{2} - \vec{a} . \vec{b} - \vec{a} . \vec{b} + {\vec{b}}^{2}$ (áp dụng tính chất giao hoán)

$= {\vec{a}}^{2} - 2 \vec{a} . \vec{b} + {\vec{b}}^{2}$

Vậy ${(\vec{a} - \vec{b})}^{2} = {\vec{a}}^{2} - 2 \vec{a} . \vec{b} + {\vec{b}}^{2}$ .

+ Ta có: $(\vec{a} - \vec{b}) (\vec{a} + \vec{b})$ $= \vec{a} . \vec{a} + \vec{a} . \vec{b} + (- \vec{b}) . \vec{a} + (- \vec{b}) . \vec{b}$

$= {\vec{a}}^{2} + \vec{a} . \vec{b} - \vec{a} . \vec{b} - \vec{b} . \vec{b}$ (áp dụng tính chất giao hoán)

$= {\vec{a}}^{2} - {\vec{b}}^{2}$ .

Vậy $(\vec{a} - \vec{b}) . (\vec{a} + \vec{b}) = {\vec{a}}^{2} - {\vec{b}}^{2}$ .

Câu 5:

17/06/2026

Sử dụng tích vô hướng, chứng minh minh định lí Pythagore: Tam giác ABC vuông tại A khi và chỉ khi BC² = AB² + AC².

Xem đáp án

+ Ta chứng minh định lí thuận:

Có tam giác ABC vuông ở A, cần chứng minh BC² = AB² + AC².

Tam giác ABC vuông tại A nên $\hat{B A C} = 90 °$ .

Ta có: ${\vec{B C}}^{2} = {(\vec{A C} - \vec{A B})}^{2} = {\vec{A C}}^{2} + {\vec{A B}}^{2} - 2 \vec{A C} . \vec{A B}$

Suy ra: BC² = AC² + AB² – 2 . AC . AB . cos $(\vec{A C}, \vec{A B})$

= AB² + AC² – 2 . AC . AB . cosA

= AB² + AC² – 2 . AC . AB . cos 90°

= AB² + AC² – 2 . AC . AB . 0

= AB² + AC².

Vậy BC² = AB² + AC².

+ Ta chứng minh định lí đảo:

Cho tam giác ABC có BC² = AB² + AC² thì tam giác ABC vuông tại A.

Ta có: ${\vec{B C}}^{2} = {(\vec{A C} - \vec{A B})}^{2} = {\vec{A C}}^{2} + {\vec{A B}}^{2} - 2 \vec{A C} . \vec{A B}$

Suy ra: BC² = AC² + AB² – 2 . AC . AB . cos $(\vec{A C}, \vec{A B})$ (*)

Mà theo giả thiết ta có: BC² = AB² + AC² nên thay vào (*) ta được:

BC² = BC² – 2 . AC . AB . cos $(\vec{A C}, \vec{A B})$

Suy ra: 2 . AC . AB . cos $(\vec{A C}, \vec{A B})$ = 0

$\Leftrightarrow \cos (\vec{A C}, \vec{A B}) = 0$ hay $\cos \hat{B A C} = 0$

Do đó: $\hat{B A C} = 90 °$ .

Vậy tam giác ABC vuông tại A.

Câu 6:

17/06/2026

Nếu hai điểm M, N thỏa mãn $\vec{M N} . \vec{N M} = - 4$ thì độ dài đoạn thẳng MN bằng bao nhiêu?

A. MN = 4;

B. MN = 2;

C. MN = 16;

D. MN = 256.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B.

Ta có: $\vec{M N} . \vec{N M} = \vec{M N} . (- \vec{M N}) = - (\vec{M N} . \vec{M N})$ $= - {\vec{M N}}^{2} = - M N^{2}$

Lại có: $\vec{M N} . \vec{N M} = - 4$ , do đó: – MN² = – 4 ⇔ MN² = 4.

Suy ra MN = 2 (MN là độ dài đoạn thẳng nên MN > 0).

Vậy MN = 2.

Câu 7:

17/06/2026

Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. Nếu

\vec{a}, \vec{b}

khác

\vec{0}

và

(\vec{a}, \vec{b}) < 90 °

thì

\vec{a} . \vec{b} < 0;

B. Nếu

\vec{a}, \vec{b}

khác

\vec{0}

và

(\vec{a}, \vec{b}) > 90 °

thì

\vec{a} . \vec{b} > 0;

C. Nếu

\vec{a}, \vec{b}

khác

\vec{0}

và

(\vec{a}, \vec{b}) < 90 °

thì

\vec{a} . \vec{b} > 0;

D. Nếu

\vec{a}, \vec{b}

khác

\vec{0}

và

(\vec{a}, \vec{b}) \neq 90 °

thì

\vec{a} . \vec{b} < 0;

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C.

Với $\vec{a}, \vec{b}$ khác $\vec{0}$ thì $(\vec{a}, \vec{b}) < 90 °$ $\Rightarrow \cos (\vec{a}, \vec{b}) > 0$

Do đó ta có: $\vec{a} . \vec{b} = |\vec{a}| . |\vec{b}| . \cos (\vec{a}, \vec{b}) > 0$ .

Vậy $\vec{a}, \vec{b}$ khác $\vec{0}$ và $(\vec{a}, \vec{b}) < 90 °$ thì $\vec{a} . \vec{b} > 0$

Câu 8:

17/06/2026

Tính $\vec{a} . \vec{b}$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $|\vec{a}| = 3, |\vec{b}| = 4, (\vec{a}, \vec{b}) = 30 °$ ;

b) $|\vec{a}| = 5, |\vec{b}| = 6, (\vec{a}, \vec{b}) = 120 °$ ;

c) $|\vec{a}| = 2, |\vec{b}| = 3,$ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng hướng;

d) $|\vec{a}| = 2, |\vec{b}| = 3,$ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ ngược hướng.

Xem đáp án

a) Ta có: $\vec{a} . \vec{b} = |\vec{a}| . |\vec{b}| . \cos (\vec{a}, \vec{b})$ = 3 . 4 cos 30° = $6 \sqrt{3}$ .

b) Ta có: $\vec{a} . \vec{b} = |\vec{a}| . |\vec{b}| . \cos (\vec{a}, \vec{b})$ = 5 . 6 cos 120° = – 15.

c) Hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng hướng nên $\vec{a} . \vec{b} = |\vec{a}| . |\vec{b}| = 2 . 3 = 6$ .

d) Hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ ngược hướng nên $\vec{a} . \vec{b} = - (|\vec{a}| . |\vec{b}|) = - (2 . 3) = - 6$ .

Câu 9:

17/06/2026

Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính các tích vô hướng sau:

a) $\vec{A B} . \vec{A C}$ ;

b) $\vec{A C} . \vec{B D}$ .

Xem đáp án

a) ABCD là hình vuông nên đường chéo AC là tia phân giác của $\hat{B A D}$ .

Do đó: $\hat{B A C} = \frac{1}{2} \hat{B A D} = \frac{1}{2} .90 ° = 45 °$

Ta có: $\vec{A B} . \vec{A C} = |\vec{A B}| . |\vec{A C}| . \cos (\vec{A B}, \vec{A C})$

$= A B . A C . \cos \hat{B A C}$

= a . a . cos 45°

$= \frac{a^{2} \sqrt{2}}{2}$ .

Vậy $\vec{A B} . \vec{A C}$ $= \frac{a^{2} \sqrt{2}}{2}$ .

b) ABCD là hình vuông nên hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau.

Do đó: $\vec{A C} ⊥ \vec{B D}$ , nên $\vec{A C} . \vec{B D} = 0$ .

Câu 10:

17/06/2026

Cho tam giác ABC. Chứng minh: $A B^{2} + \vec{A B} . \vec{B C} + \vec{A B} . \vec{C A} = 0$ .

Xem đáp án

Ta có: $A B^{2} + \vec{A B} . \vec{B C} + \vec{A B} . \vec{C A}$

$= A B^{2} + \vec{A B} . (\vec{B C} + \vec{C A})$

$= A B^{2} + \vec{A B} . \vec{B A}$

$= A B^{2} + \vec{A B} . (- \vec{A B})$

$= A B^{2} - {\vec{A B}}^{2}$

$= A B^{2} - A B^{2} = 0$ .

Vậy $A B^{2} + \vec{A B} . \vec{B C} + \vec{A B} . \vec{C A} = 0$ .

Câu 11:

17/06/2026

Cho tam giác nhọn ABC, kẻ đường cao AH. Chứng minh rằng:

a) $\vec{A B} . \vec{A H} = \vec{A C} . \vec{A H}$ ;

b) $\vec{A B} . \vec{B C} = \vec{H B} . \vec{B C}$ .

Xem đáp án

Tam giác ABC nhọn nên H thuộc cạnh BC.

a) Do AH là đường cao của tam giác ABC nên AH ⊥ CB.

Do đó: $\vec{A H} . \vec{C B} = 0$

Ta có: $\vec{A B} . \vec{A H} - \vec{A C} . \vec{A H}$

$= \vec{A H} . \vec{A B} - \vec{A H} . \vec{A C}$ (tính chất giao hoán)

$= \vec{A H} . (\vec{A B} - \vec{A C})$

$= \vec{A H} . \vec{C B} = 0$

Do đó: $\vec{A B} . \vec{A H} - \vec{A C} . \vec{A H} = 0$ $\Leftrightarrow \vec{A B} . \vec{A H} = \vec{A C} . \vec{A H}$ .

Vậy $\vec{A B} . \vec{A H} = \vec{A C} . \vec{A H}$ .

b) Ta có: $\vec{A B} . \vec{B C} - \vec{H B} . \vec{B C}$

$= \vec{B C} . \vec{A B} - \vec{B C} . \vec{H B}$ (tính chất giao hoán)

$= \vec{B C} . (\vec{A B} - \vec{H B})$

$= \vec{B C} . (\vec{A B} - (- \vec{B H}))$

$= \vec{B C} . (\vec{A B} + \vec{B H})$

$= \vec{B C} . \vec{A H} = 0$ .

Suy ra: $\vec{A B} . \vec{B C} - \vec{H B} . \vec{B C} = 0$ $\Leftrightarrow \vec{A B} . \vec{B C} = \vec{H B} . \vec{B C}$ .

Vậy $\vec{A B} . \vec{B C} = \vec{H B} . \vec{B C}$ .

Câu 12:

17/06/2026

Một máy bay đang bay từ hướng đông sang hướng tây với tốc độ 700 km/h thì gặp luồng gió thổi từ hướng đông bắc sang hướng tây nam với tốc độ 40 km/h (Hình 68). Máy bay bị thay đổi vận tốc sau khi gặp gió thổi. Tìm tốc độ mới của máy bay (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm theo đơn vị km/h).

Một máy bay đang bay từ hướng đông sang hướng tây với tốc độ 700 km/h thì gặp luồng gió thổi từ hướng (ảnh 1)

Xem đáp án

Giả sử vận tốc của máy bay theo hướng đông sang tây là $\vec{v_{1}}$ , vận tốc của luồng gió theo hướng đông bắc sang tây nam là $\vec{v_{2}}$ và vận tốc mới của máy bay chính là $\vec{v}$ thỏa mãn $\vec{v} = \vec{v_{1}} + \vec{v_{2}}$ . Ta cần tính độ dài vectơ $\vec{v}$ .

Theo bài ra ta có: $|\vec{v_{1}}| = 700$ km/h, $|\vec{v_{2}}| = 40$ km/h, $(\vec{v_{1}}, \vec{v_{2}}) = 45 °$ .

Biểu diễn bài toán như hình vẽ dưới đây:

Khi đó ta có: ABCD là hình bình hành có $\hat{A B C} = 45 °$ .

Suy ra: $\hat{D A B} = 180 ° - 45 ° = 135 °$ ; $A D = |\vec{v_{2}}| = 40$ , $A B = |\vec{v_{1}}| = 700$ .

Ta cần tính độ dài đoạn thẳng BD, đây chính là độ dài vectơ $\vec{v}$ .

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABD, ta có:

BD² = AD² + AB² – 2 . AD . AB . cosA

= 40² + 700² – 2 . 40 . 700 . cos135°

≈ 531 197, 98

Suy ra BD ≈ 728,83 (km/h).

Vậy tốc độ mới của máy bay sau khi gặp gió thổi là 728,83 km/h.

Câu 13:

17/06/2026

Cho tam giác ABC có AB = 2, AC = 3, $\hat{B A C} = 60 °$ . Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BC. Điểm D thỏa mãn $\vec{A D} = \frac{7}{12} \vec{A C}$ .

a) Tính $\vec{A B} . \vec{A C}$ .

b) Biểu diễn $\vec{A M}, \vec{B D}$ theo $\vec{A B}, \vec{A C}$ .

c) Chứng minh AM ⊥ BD.

Xem đáp án

a) Ta có: $\vec{A B} . \vec{A C} = |\vec{A B}| . |\vec{A C}| . \cos (\vec{A B}, \vec{A C})$

$= A B . A C . c o s \hat{B A C}$ = 2 . 3 . cos60° = 3.

b) + Do M là trung điểm của BC nên với điểm A ta có: $\vec{A B} + \vec{A C} = 2 \vec{A M}$

$\Rightarrow \vec{A M} = \frac{1}{2} (\vec{A B} + \vec{A C})$ $= \frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A C}$ .

Do đó: $\vec{A M} = \frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A C}$ .

+ Ta có: $\vec{B D} = \vec{B A} + \vec{A D} = (- \vec{A B}) + \vec{A D}$

Mà $\vec{A D} = \frac{7}{12} \vec{A C}$

Nên $\vec{B D} = (- \vec{A B}) + \frac{7}{12} \vec{A C}$ $= - \vec{A B} + \frac{7}{12} \vec{A C}$ .

Vậy $\vec{B D} = - \vec{A B} + \frac{7}{12} \vec{A C}$ .

c) Ta có: $\vec{A M} . \vec{B D} = (\frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A C}) . (- \vec{A B} + \frac{7}{12} \vec{A C})$

$= \frac{- 1}{2} {\vec{A B}}^{2} + \frac{7}{24} \vec{A B} . \vec{A C} - \frac{1}{2} \vec{A C} . \vec{A B} + \frac{7}{24} {\vec{A C}}^{2}$

$= \frac{- 1}{2} . A B^{2} + \frac{7}{24} . \vec{A B} . \vec{A C} - \frac{1}{2} \vec{A B} . \vec{A C} + \frac{7}{24} . A C^{2}$

$= \frac{- 1}{2} {.2}^{2} + \frac{7}{24} .3 - \frac{1}{2} .3 + \frac{7}{24} {.3}^{2}$ = 0

Suy ra: $\vec{A M} . \vec{B D} = 0$ .

Vậy AM ⊥ BD.

Lớp 1 - Cánh diều

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Chân trời sáng tạo

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Kết nối tri thức

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 1 lên lớp 2

Lớp 2 - Kết nối tri thức

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Lớp 2 - Cánh diều

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Đạo đức lớp 2

Lớp 2 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 2 lên lớp 3

Lớp 3 - Kết nối tri thức

Toán lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Cánh diều

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 3 lên lớp 4

Lớp 3 - Sách cũ

Tiếng Anh 3