Hình 3.51 thể hiện hình chiếu đứng và hình chiếu bằng của một đoạn thẳng AB

Giải Chuyên đề Toán 11 Kết nối tri thức Bài tập cuối chuyên đề 3

Bài 3.21 trang 80 Chuyên đề Toán 11: Hình 3.51 thể hiện hình chiếu đứng và hình chiếu bằng của một đoạn thẳng AB trong không gian.

a) Xác định hình chiếu cạnh A₃B₃ của đoạn thẳng đó.

b) Biết A₁B₁ = 10 cm và A₂B₂ = 6 cm, tính độ dài của A₃B₃.  

Lời giải:

a) Hình chiếu cạnh của đoạn thẳng AB có hai đầu mút là hình chiếu cạnh A₃ của A và B₃ của B.

Để xác định A₃ ta làm như sau: Qua điểm A₂ vẽ đường thẳng vuông góc với Oz tại C và trên tia đối của tia Ox lấy điểm D sao cho OC = OD. Đường thẳng qua A₁ và vuông góc với Oz cắt đường thẳng qua D và vuông góc với Ox tại A₃. Tương tự xác định B₃. Nối A₃ và B₃ ta nhận được hình chiếu cạnh của đoạn thẳng AB.

b) Gọi E là giao điểm của A₁A₃ và B₁B₂.

Dễ dàng chứng minh tứ giác A₁A₂B₂E là hình chữ nhật.

Do đó: A₁E = A₂B₂.

Mà A₂B₂ = 6 cm nên A₁E = 6 cm.

Tam giác A₁B₁E vuông tại E nên A₁E² + B₁E² = A₁B₁² (định lí Pythagore)

Suy ra $B_{1}E=\sqrt{A_1{B_1}^2-A_1{E}^2}=\sqrt{{10}^2-6^2}=8$  (cm).

Mà B₁E = A₃B₃ (A₃B₃B₁E là hình chữ nhật)

Vậy A₃B₃ = 8 cm.