Nội dung bài viết

    Xem thêm

    Hàng tháng, một người gửi vào ngân hàng một khoản tiền tiết kiệm không đổi a đồng

    Lời giải Bài 7 trang 32 sách Chuyên đề Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng trả lời các câu hỏi & làm bài tập.

    1 264 08/11/2022
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Giải Chuyên đề Toán 10 Chân trời sáng tạo Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học

    Bài 7 trang 32 Chuyên đề Toán 10: Hàng tháng, một người gửi vào ngân hàng một khoản tiền tiết kiệm không đổi a đồng. Giả sử lãi suất hằng tháng là r không đổi và theo thể thức lãi kép (tiền lãi của tháng trước được cộng vào vốn của tháng kế tiếp). Gọi Tn (n ≥ 1) là tổng tiền vốn và lãi của người đó có trong ngân hàng tại thời điểm ngay sau khi gửi vào khoản thứ n + 1.

    a) Tính T1, T2, T3.

    b) Dự đoán công thức tính Tn và chứng minh công thức đó bằng phương pháp quy nạp toán học.

    Lời giải:

    a)

    – T1 là tổng tiền vốn và lãi của người đó có trong ngân hàng tại thời điểm ngay sau khi gửi vào khoản thứ 2:

    T1 = (a + ar) + a = a(1 + r) + a = a[(1 + r) + 1].

    – T2 là tổng tiền vốn và lãi của người đó có trong ngân hàng tại thời điểm ngay sau khi gửi vào khoản thứ 3:

    T2 = T1 + T1 . r + a

    = a[(1 + r) + 1] + a[(1 + r) + 1]r + a

    = a[(1 + r) + 1](1 + r) + a

    = a(1 + r)2 + a(1 + r) + a

    = a[(1 + r)2 + (1 + r) + 1].

    – T3 là tổng tiền vốn và lãi của người đó có trong ngân hàng tại thời điểm ngay sau khi gửi vào khoản thứ 4:

    T3 = T2 + T2 . r + a

    = a[(1 + r)2 + (1 + r) + 1] + a[(1 + r)2 + (1 + r) + 1]r + a

    = a[(1 + r)2 + (1 + r) + 1](1 + r) + a

    = a(1 + r)3 + a(1 + r)2 + a(1 + r) + a

    = a[(1 + r)3 + (1 + r)2 + (1 + r) + 1].

    b) Từ câu a) ta có thể dự đoán:

    Tn = a[(1 + r)n + ... + (1 + r)2 + (1 + r) + 1]

    =a.1−1+rn+11−1+r=a.1−1+rn+1−r=a.1+rn+1−1r.

    Ta chứng minh bằng quy nạp toán học.

    Bước 1. Với n = 1 ta có:

    T1 = a[(1 + r) + 1]

    =a.r2+2rr=a.r2+2r+1−1r=a.1+r2−1r=a.1+r1+1−1r.   

    Như vậy khẳng định đúng cho trường hợp n = 1.

    Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n = k ≥ 1, tức là ta có: Tk = a.1+rk+1−1r.

    Ta sẽ chứng minh rằng khẳng định cũng đủng với n = k + 1, nghĩa là ta sẽ chứng minh: Tk + 1 = a.1+rk+1+1−1r.

    Thật vậy,

    Tk + 1 = Tk + Tk . r + a

    Chuyên đề Toán 10 Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học - Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

    Chuyên đề Toán 10 Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học - Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

    Vậy khẳng định đúng với n = k + 1.

    Theo nguyên lí quy nạp toán học, khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

    Vậy Tn = a.1+rn+1−1r với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

    Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

    Khởi động trang 27 Chuyên đề Toán 10: Trong một trò chơi domino, các quân domino được xếp theo thứ tự...

    Khám phá 1 trang 27 Chuyên đề Toán 10: Bằng cách tô màu trên lưới ô vuông như hình dưới đây, một học sinh phát hiện...

    Thực hành 1 trang 29 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng đẳng thức sau đúng với mọi n∈ℕ*: 1+2+3+…+n=n(n+1)2...

    Thực hành 2 trang 29 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng bất đẳng thức sau đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 3: 2n + 1 > n2 + n + 2...

    Thực hành 3 trang 31 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng n3 + 2n chia hết cho 3 với mọi n∈ℕ*...

    Thực hành 4 trang 31 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng đẳng thức sau đây đúng với mọi n∈ℕ*: 1+q+q2+q3+q4+…+qn−1=1−qn1−q (q≠1)...

    Thực hành 5 trang 31 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng trong mặt phẳng, n đường thẳng khác nhau cùng đi qua một điểm chia mặt phẳng thành 2n...

    Vận dụng trang 31 Chuyên đề Toán 10: (Công thức lãi kép) Một khoản tiền A đồng (gọi là vốn) được gửi tiết kiệm có kì hạn ở một ngân hàng...

    Bài 1 trang 32 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh các đẳng thức sau đúng với mọi n∈ℕ*: a) 1.2+2.3+3.4+…+n.(n+1)=n(n+1)(n+2)3...

    Bài 2 trang 32 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng, với mọi n∈ℕ*, ta có: a) 52n – 1 chia hết cho 24...

    Bài 3 trang 32 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng nếu x > –1 thì (1 + x)n ≥ 1 + nx với mọi n∈ℕ*...

    Bài 4 trang 32 Chuyên đề Toán 10: Cho a, b ≥ 0. Chứng minh rằng bất đẳng thức sau đúng với mọi n∈ℕ*: an+bn2≥a+b2n. ..

    Bài 5 trang 32 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng bất đẳng thức sau đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 2: 1+12+13+⋯+1n>2nn+1...

    Bài 6 trang 32 Chuyên đề Toán 10: Trong mặt phẳng, cho đa giác A1 A2 A3... An có n cạnh (n ≥ 3). Gọi Sn là tổng số đo...

    Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

    Bài 2: Ứng dụng hệ phương trình bậc nhất ba ẩn

    Bài tập cuối chuyên đề 1

    Bài 2: Nhị thức Newton

    Bài tập cuối chuyên đề 2

    Bài 1: Elip

    Tham khảo các loạt bài Toán 10 khác:

    Bài viết cùng lớp mới nhất

    Xem thêm
    1 264 08/11/2022
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Xem thêm các chương trình khác: