Nội dung bài viết

    Xem thêm

    Chứng minh các đẳng thức sau đúng với mọi n thuộc N*: 1.2+2.3+3.4+...+n.(n+1)=[n(n+1)(n+2)]/3

    Lời giải Bài 1 trang 32 sách Chuyên đề Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng trả lời các câu hỏi & làm bài tập.

    1 400 08/11/2022
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Giải Chuyên đề Toán 10 Chân trời sáng tạo Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học

    Bài 1 trang 32 Chuyên đề Toán 10:

    Chứng minh các đẳng thức sau đúng với mọi n∈ℕ*:

    a) 1.2+2.3+3.4+…+n.(n+1)=n(n+1)(n+2)3;

    b) 1+4+9+…+n2=n(n+1)(2n+1)6;

    c) 1+2+22+23+24+…+2n−1=2n−1.

    Lời giải:

    a) Bước 1. Với n = 1, ta có 1(1 + 1) = 2 = 11+11+23. 

    Do đó đẳng thức đúng với n = 1.

    Bước 2. Giả sử đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có:

    1.2+2.3+3.4+…+k.(k+1)=k(k+1)(k+2)3.

    Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:

    1.2+2.3+3.4+…+k.(k+1)+k+1k+1+1

    =(k+1)(k+1)+1k+1+23.

    Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:

    Chuyên đề Toán 10 Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học - Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

    Vậy đẳng thức đúng với n = k + 1.

    Theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

    b) Bước 1. Với n = 1, ta có 12 = 1 = 11+12.1+26. 

    Do đó đẳng thức đúng với n = 1.

    Bước 2. Giả sử đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có:

    1+4+9+…+k2=k(k+1)(2k+1)6.

    Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:

    1+4+9+…+k2+k+12=(k+1)k+1+12k+1+16.

    Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:

    Chuyên đề Toán 10 Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học - Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

    Chuyên đề Toán 10 Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học - Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

    Vậy đẳng thức đúng với n = k + 1.

    Theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

    c) Bước 1. Với n = 1, ta có 21 – 1 = 20 = 1 = 21 – 1.

    Do đó đẳng thức đúng với n = 1.

    Bước 2. Giả sử đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có:

    1+2+22+23+24+…+2k−1=2k−1.

    Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:

    1+2+22+23+24+…+2k−1+2k+1−1=2k+1−1.

    Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:

    Chuyên đề Toán 10 Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học - Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

    Vậy đẳng thức đúng với n = k + 1.

    Theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

    Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

    Khởi động trang 27 Chuyên đề Toán 10: Trong một trò chơi domino, các quân domino được xếp theo thứ tự...

    Khám phá 1 trang 27 Chuyên đề Toán 10: Bằng cách tô màu trên lưới ô vuông như hình dưới đây, một học sinh phát hiện...

    Thực hành 1 trang 29 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng đẳng thức sau đúng với mọi n∈ℕ*: 1+2+3+…+n=n(n+1)2...

    Thực hành 2 trang 29 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng bất đẳng thức sau đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 3: 2n + 1 > n2 + n + 2...

    Thực hành 3 trang 31 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng n3 + 2n chia hết cho 3 với mọi n∈ℕ*...

    Thực hành 4 trang 31 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng đẳng thức sau đây đúng với mọi n∈ℕ*: 1+q+q2+q3+q4+…+qn−1=1−qn1−q (q≠1)...

    Thực hành 5 trang 31 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng trong mặt phẳng, n đường thẳng khác nhau cùng đi qua một điểm chia mặt phẳng thành 2n...

    Vận dụng trang 31 Chuyên đề Toán 10: (Công thức lãi kép) Một khoản tiền A đồng (gọi là vốn) được gửi tiết kiệm có kì hạn ở một ngân hàng...

    Bài 2 trang 32 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng, với mọi n∈ℕ*, ta có: a) 52n – 1 chia hết cho 24...

    Bài 3 trang 32 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng nếu x > –1 thì (1 + x)n ≥ 1 + nx với mọi n∈ℕ*...

    Bài 4 trang 32 Chuyên đề Toán 10: Cho a, b ≥ 0. Chứng minh rằng bất đẳng thức sau đúng với mọi n∈ℕ*: an+bn2≥a+b2n. ..

    Bài 5 trang 32 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng bất đẳng thức sau đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 2: 1+12+13+⋯+1n>2nn+1...

    Bài 6 trang 32 Chuyên đề Toán 10: Trong mặt phẳng, cho đa giác A1 A2 A3... An có n cạnh (n ≥ 3). Gọi Sn là tổng số đo...

    Bài 7 trang 32 Chuyên đề Toán 10: Hàng tháng, một người gửi vào ngân hàng một khoản tiền tiết kiệm không đổi a đồng...

    Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

    Bài 2: Ứng dụng hệ phương trình bậc nhất ba ẩn

    Bài tập cuối chuyên đề 1

    Bài 2: Nhị thức Newton

    Bài tập cuối chuyên đề 2

    Bài 1: Elip

    Tham khảo các loạt bài Toán 10 khác:

    Bài viết cùng lớp mới nhất

    Xem thêm
    1 400 08/11/2022
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Xem thêm các chương trình khác: