Nội dung bài viết

    Xem thêm

    Giải bài tập trang 26 Chuyên đề Toán 10 Bài 1 - Cánh diều

    Với Giải bài tập trang 26 Chuyên đề Toán 10 trong Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học sách Chuyên đề Toán lớp 10 Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng trả lời các câu hỏi & làm bài tập Chuyên đề Toán 10 trang 26.

    1 1,447 22/07/2022
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Giải bài tập trang 26 Chuyên đề Toán 10 Bài 1 - Cánh diều

    Luyện tập 2 trang 26 Chuyên đề Toán 10:

    Chứng minh với mọi n ∈ ℕ*,(1+2)n, (1-2)n lần lượt viết được ở dạng an+bn2, an-bn2,, trong đó an, bn là các số nguyên dương.

    Lời giải:

    +) Khi n = 1, ta có:

    (1+2)1=1+2=1+1 . 2⇒ a1 = 1, b1 = 1.

    Vậy mệnh đề đúng với n = 1.

    +) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1, tức là: (1+2)k+1 viết được dưới dạng ak+1+bk+12, trong đó ak + 1, bk + 1 là các số nguyên dương.

    Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:

    (1+2)k = ak+bk2, với ak, bk là các số nguyên dương.

    Khi đó:

    Chuyên đề Toán 10 Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học - Cánh diều (ảnh 1)

    Vì ak, bk là các số nguyên dương nên ak + 2bk và ak + bk cũng là các số nguyên dương.

    Vậy mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đã cho đúng với mọi n ∈ ℕ*.

    +) Theo chứng minh trên ta có:

    Với mọi n ∈ ℕ* thì (1+2)n= an−bn2 với an, bn là các số nguyên dương.

    Chứng minh tương tự ta được:

    Với mọi n ∈ ℕ* thì (1-2)n = cn−dn2 với cn, dn là các số nguyên dương.

    Giờ ta chứng minh an = cn và bn = dn với mọi n ∈ ℕ*.

    Cách 1:

    Xét mệnh đề P(n): an = cn và bn = dn với mọi n ∈ ℕ*.

    +) Khi n = 1, ta có:

    (1+2)1=1+2=1+1 . 2⇒ a1 = 1, b1 = 1.

    (1−2)1=1−2=1−1 . 2⇒ c1 = 1, d1 = 1.

    Vậy a1 = c1, b1 = d1.

    Vậy mệnh đề P(n) đúng với n = 1.

    +) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề P(n) cũng đúng với k + 1, tức là: ak + 1 = ck + 1 và bk + 1 = dk + 1.

    Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có: ak = ck và bk = dk (1).

    Mặt khác:

    Chuyên đề Toán 10 Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học - Cánh diều (ảnh 1)

    ⇒ ak + 1 = ak + 2bk, bk + 1 = ak + bk (2).

    Chuyên đề Toán 10 Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học - Cánh diều (ảnh 1)

    nên ck + 1 = ck + 2dk, dk + 1 = ck + dk (3)

    Từ (1), (2) và (3) ta suy ra ak + 1 = ck + 1 và bk + 1 = dk + 1.

    Vậy mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đã cho đúng với mọi n ∈ ℕ*.

    Vậy bài toán đã được chứng minh.

    Cách 2:

    Ta có: 

    Chuyên đề Toán 10 Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học - Cánh diều (ảnh 1)

    Từ (2) ta suy ra andn=bncn⇒ancn=bndn=k với k > 0 (vì an, bn, cn, dn  là các số nguyên dương)

    ⇒an=kcn, bn=kdn. Thế vào (1) ta được:

    kcncn−2kdndn=−1n⇒kcn2−2dn2=−1n

    ⇒1  ⋮  k⇒k=1⇒an = cn và bn = dn.

    Vậy ta có điều phải chứng minh.

    Luyện tập 3 trang 26 Chuyên đề Toán 10:

    Chứng minh 16n – 15n – 1 chia hết cho 225 với mọi n ∈ ℕ*.

    Lời giải:

    +) Khi n = 1, ta có: 161 – 15n – 1 = 0 ⁝ 225.

    Vậy mệnh đề đúng với n = 1.

    +) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1, tức là: 16k + 1 – 15(k + 1) – 1 chia hết cho 225.

    Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có: 16k – 15k – 1 chia hết cho 225.

    Khi đó:

    16k + 1 – 15(k + 1) – 1

    = 16 . 16k – 15k – 16

    = 16 . 16k – (240k – 225k)  – 16

    = 16 . 16k – 240k + 225k  – 16

    = 16 . 16k – 240k – 16 + 225k

    = 16 (16k – 15k – 1) + 225k

    Vì (16k – 15k – 1) và 225k đều chia hết cho 225 nên 16 (16k – 15k – 1) + 225k ⁝ 225, do đó 16k + 1 – 15(k + 1) – 1 ⁝ 225.

    Vậy mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đã cho đúng với mọi n ∈ ℕ*.

    Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề Toán lớp 10 Cánh diều hay, chi tiết khác:

    Giải bài tập trang 23, 25 Chuyên đề Toán 10 Bài 1

    Giải bài tập trang 29 Chuyên đề Toán 10 Bài 1

    Giải bài tập trang 30 Chuyên đề Toán 10 Bài 1

    Tham khảo các loạt bài Toán 10 khác:

    Bài viết cùng lớp mới nhất

    Xem thêm
    1 1,447 22/07/2022
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Xem thêm các chương trình khác: