Giải bài tập trang 23, 25 Chuyên đề Toán 10 Bài 1 - Cánh diều

Giải bài tập trang 23, 25 Chuyên đề Toán 10 Bài 1 - Cánh diều

Hoạt động trang 23 Chuyên đề Toán 10:

Xét mệnh đề chứa biến P(n) : "1 + 3 + 5 + ... + (2n – 1) = n²" với n là số nguyên dương.

a) Chứng tỏ rằng P(1) là mệnh đề đúng.

b) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà P(k) là mệnh đề đúng, cho biết 1 + 3 + 5 + ... + (2k – 1) bằng bao nhiêu.

c) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà P(k) là mệnh đề đúng, chứng tỏ rằng P(k+1) cũng là mệnh đề đúng bằng cách chỉ ra k² + [2(k + 1) – 1] = (k+1)².

Lời giải:

a) Ta có P(1): "1 = 1²". Mệnh đề này đúng vì 1² = 1.

b) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà P(k) là mệnh đề đúng thì 1 + 3 + 5 + ... + (2k – 1) = k².

c) Khi P(k) là mệnh đề đúng. Ta có:

P(k+1) = 1 + 3 + 5 + ... + (2k – 1) + [2(k+1) – 1] = P(k) + [2(k+1) – 1]

= k² + [2(k+1) – 1] = k² + (2k + 2 – 1) = k² + 2k + 1 = (k+1)²

Vậy P(k+1) cũng là mệnh đề đúng.

Luyện tập 1 trang 25 Chuyên đề Toán 10:

Chứng minh rằng với mọi n $\in$ ℕ^* ta có:

a) $\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\dots$$+\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=\sqrt{n+1}-1.$ 

b) $\frac{2^3-1}{2^3+1}\cdot \frac{3^3-1}{3^3+1}\cdot \frac{4^3-1}{4^3+1}\cdots$$\frac{n^3-1}{n^3+1}=\frac{2\left(n^2+n+1\right)}{3n(n+1)}.$ .

Lời giải:

a)

+) Khi n = 1, ta có:

$$\begin{gathered} \frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}-1}{\left(\sqrt{1}+\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{2}-1\right)} \\ =\frac{\sqrt{2}-1}{{\left(\sqrt{2}\right)}^2-1^2}=\frac{\sqrt{2}-1}{1} \\ =\sqrt{2}-1=\sqrt{1+1}-1. \end{gathered}$$

Vậy mệnh đề đúng với n = 1.

+) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1, tức là:

$\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\dots +$$\frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{\left(k+1\right)+1}}=\sqrt{\left(k+1\right)+1}-1.$ 

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:

$\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\dots$$+\frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}}=\sqrt{k+1}-1.$

Khi đó:

$\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\dots$$+\frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{\left(k+1\right)+1}}$

$=\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\dots +$$\frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}}+\frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{\left(k+1\right)+1}}$

$=\left(\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\dots +\frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}}\right)$$+\frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{\left(k+1\right)+1}}$

$=\left(\sqrt{k+1}-1\right)+\frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{\left(k+1\right)+1}}$

$=\left(\sqrt{k+1}-1\right)+$$\frac{\sqrt{\left(k+1\right)+1}-\sqrt{k+1}}{\left(\sqrt{k+1}+\sqrt{\left(k+1\right)+1}\right)\left(\sqrt{\left(k+1\right)+1}-\sqrt{k+1}\right)}$

$=\left(\sqrt{k+1}-1\right)+\frac{\sqrt{\left(k+1\right)+1}-\sqrt{k+1}}{\left[\left(k+1\right)+1\right]-\left(k+1\right)}$

$=\left(\sqrt{k+1}-1\right)+\frac{\sqrt{\left(k+1\right)+1}-\sqrt{k+1}}{1}$

$=\left(\sqrt{k+1}-1\right)+\left(\sqrt{\left(k+1\right)+1}-\sqrt{k+1}\right)$

$=\sqrt{\left(k+1\right)+1}-1.$

Vậy mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đã cho đúng với mọi n $\in$ ℕ^*.

b)

+) Khi n = 2, ta có:

$\frac{2^3-1}{2^3+1}=\frac{7}{9}=\frac{2\left(2^2+2+1\right)}{3.2(2+1)}.$

Vậy mệnh đề đúng với n = 2.

+) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1, tức là:

$$\begin{gathered} \frac{2^3-1}{2^3+1}\cdot \frac{3^3-1}{3^3+1}\cdot \frac{4^3-1}{4^3+1}\cdots \frac{{\left(k+1\right)}^3-1}{{\left(k+1\right)}^3+1} \\ =\frac{2\left[{\left(k+1\right)}^2+\left(k+1\right)+1\right]}{3\left(k+1\right)\left[\left(k+1\right)+1\right]}. \end{gathered}$$ 

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:

$$\begin{gathered} \frac{2^3-1}{2^3+1}\cdot \frac{3^3-1}{3^3+1}\cdot \frac{4^3-1}{4^3+1}\cdots \frac{k^3-1}{k^3+1} \\ =\frac{2\left(k^2+k+1\right)}{3k(k+1)}. \end{gathered}$$

Khi đó:

Vậy mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đã cho đúng với mọi n $\in$ ℕ^*.

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề Toán lớp 10 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Giải bài tập trang 26 Chuyên đề Toán 10 Bài 1

Giải bài tập trang 29 Chuyên đề Toán 10 Bài 1

Giải bài tập trang 30 Chuyên đề Toán 10 Bài 1