Nội dung bài viết

    Xem thêm

    Giải bài tập trang 23, 25 Chuyên đề Toán 10 Bài 1 - Cánh diều

    Với Giải bài tập trang 23, 25 Chuyên đề Toán 10 trong Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học sách Chuyên đề Toán lớp 10 Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng trả lời các câu hỏi & làm bài tập Chuyên đề Toán 10 trang 23, 25.

    1 1,829 22/07/2022
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Giải bài tập trang 23, 25 Chuyên đề Toán 10 Bài 1 - Cánh diều

    Hoạt động trang 23 Chuyên đề Toán 10:

    Xét mệnh đề chứa biến P(n) : "1 + 3 + 5 + ... + (2n – 1) = n2" với n là số nguyên dương.

    a) Chứng tỏ rằng P(1) là mệnh đề đúng.

    b) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà P(k) là mệnh đề đúng, cho biết 1 + 3 + 5 + ... + (2k – 1) bằng bao nhiêu.

    c) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà P(k) là mệnh đề đúng, chứng tỏ rằng P(k+1) cũng là mệnh đề đúng bằng cách chỉ ra k2 + [2(k + 1) – 1] = (k+1)2.

    Lời giải:

    a) Ta có P(1): "1 = 12". Mệnh đề này đúng vì 12 = 1.

    b) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà P(k) là mệnh đề đúng thì 1 + 3 + 5 + ... + (2k – 1) = k2.

    c) Khi P(k) là mệnh đề đúng. Ta có:

    P(k+1) = 1 + 3 + 5 + ... + (2k – 1) + [2(k+1) – 1] = P(k) + [2(k+1) – 1]

    = k2 + [2(k+1) – 1] = k2 + (2k + 2 – 1) = k2 + 2k + 1 = (k+1)2

    Vậy P(k+1) cũng là mệnh đề đúng.

    Luyện tập 1 trang 25 Chuyên đề Toán 10:

    Chứng minh rằng với mọi n ∈ ℕ* ta có:

    a) 11+2+12+3+…+1n+n+1=n+1−1. 

    b) 23−123+1⋅33−133+1⋅43−143+1⋯n3−1n3+1=2n2+n+13n(n+1). .

    Lời giải:

    a)

    +) Khi n = 1, ta có:

    11+2=2−11+22−1=2−122−12=2−11=2−1=1+1−1.

    Vậy mệnh đề đúng với n = 1.

    +) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1, tức là:

    11+2+12+3+…+1k+1+k+1+1=k+1+1−1. 

    Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:

    11+2+12+3+…+1k+k+1=k+1−1.

    Khi đó:

    11+2+12+3+…+1k+1+k+1+1

    =11+2+12+3+…+1k+k+1+1k+1+k+1+1

    =11+2+12+3+…+1k+k+1+1k+1+k+1+1

    =k+1−1+1k+1+k+1+1

    =k+1−1+k+1+1−k+1k+1+k+1+1k+1+1−k+1

    =k+1−1+k+1+1−k+1k+1+1−k+1

    =k+1−1+k+1+1−k+11

    =k+1−1+k+1+1−k+1

    =k+1+1−1.

    Vậy mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đã cho đúng với mọi n ∈ ℕ*.

    b)

    +) Khi n = 2, ta có:

    23−123+1=79=222+2+13 . 2(2+1).

    Vậy mệnh đề đúng với n = 2.

    +) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1, tức là:

    23−123+1⋅33−133+1⋅43−143+1⋯k+13−1k+13+1=2k+12+k+1+13k+1k+1+1. 

    Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:

    23−123+1⋅33−133+1⋅43−143+1⋯k3−1k3+1=2k2+k+13k(k+1).

    Khi đó:

    Chuyên đề Toán 10 Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học - Cánh diều (ảnh 1)

    Chuyên đề Toán 10 Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học - Cánh diều (ảnh 1)

    Vậy mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đã cho đúng với mọi n ∈ ℕ*.

    Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề Toán lớp 10 Cánh diều hay, chi tiết khác:

    Giải bài tập trang 26 Chuyên đề Toán 10 Bài 1

    Giải bài tập trang 29 Chuyên đề Toán 10 Bài 1

    Giải bài tập trang 30 Chuyên đề Toán 10 Bài 1

    Tham khảo các loạt bài Toán 10 khác:

    Bài viết cùng lớp mới nhất

    Xem thêm
    1 1,829 22/07/2022
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Xem thêm các chương trình khác: