Chứng minh rằng một đa diện mà mỗi đỉnh của nó là đỉnh chung

Giải Toán 12 Bài 1: Khái niệm về khối đa diện

Bài 2 trang 12 Toán lớp 12 Hình học: Chứng minh rằng một đa diện mà mỗi đỉnh của nó là đỉnh chung của một số lẻ mặt thì tổng số các đỉnh của nó phải là một số chẵn. Cho ví dụ.

Lời giải:

Cho khối đa diện (G) có các đỉnh là B₁, B₂,…, B_n và gọi m₁, m₂,…, m_n lần lượt là số các mặt của (G) nhận chúng làm đỉnh chung, ở đó m₁, m₂,…, m_n là những số lẻ.

Như vậy mỗi đỉnh B_k có m_{k ­}cạnh đi qua.

Ta có: đỉnh B₁ có m₁ cạnh đi qua, đỉnh B₂ có m₂ cạnh đi qua, …, đỉnh B_n có m_n cạnh đi qua.

Do đó tổng số các cạnh (có thể trùng nhau) của đa diện là m₁ + m₂ + … + m_n.

Tuy nhiên, do mỗi cạnh là cạnh chung của đúng hai mặt nên số cạnh ở trên được đếm hai lần.

Vậy tổng số các cạnh thực tế của (G) là:

C = $\frac{1}{2}$(m₁ + m₂ + … + m_n)

Vì C là số nguyên dương nên:

m₁ + m₂ + … + m_n là số chẵn.

Đồng thời m₁, m₂ , ..., m_n là n số tự nhiên lẻ nên tổng của chúng là số chẵn khi n chẵn.

Ví dụ: Hình chóp ngũ giác B₁.B₂B₃B₄B₅B₆ có: B₁ là đỉnh chung của 5 mặt bên. Mỗi đỉnh B₁, B₂, B₃, B₄, B₅, B₆ là đỉnh chung của ba mặt (hình dưới).

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 12 hay, chi tiết khác:

Hoạt động 1 trang 4 Toán 12 Hình học: Nhắc lại định nghĩa hình lăng trụ và hình chóp...

Hoạt động 2 trang 6 Toán 12 Hình học: Kể tên các mặt của hình lăng trụ...

Hoạt động 3 trang 8 Toán 12 Hình học: Giải thích tại sao hình 1.8c không phải là một khối đa diện...

Hoạt động 4 trang 10 Toán 12 Hình học: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’...

Bài 1 trang 12 Toán 12 Hình học: Chứng minh rằng một đa diện có các mặt là những tam giác...

Bài 3 trang 12 Toán 12 Hình học: Chia một khối lập phương thành năm khối tứ diện...

Bài 4 trang 12 Toán 12 Hình học: Chia khối lập phương thành sáu khối tứ diện bằng nhau...