Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) nội tiếp trong đường tròn (O) có đường kính BC

Giải SBT Toán 9 Bài 9: Ôn tập chương 2

Bài 84 trang 171 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) nội tiếp trong đường tròn (O) có đường kính BC. Kẻ dây AD vuông góc với BC. Gọi E là giao điểm của DB và CA. Qua E kẻ đường thẳng vuông góc với BC, cắt BC ở H, cắt AB ở F. Chứng minh rằng:

a) Tam giác EBF cân

b) Tam giác HAF cân

c) HA là tiếp tuyến của đường tròn (O)

Lời giải:

a)

Gọi I là giao điểm của AD và BC

Vì $BC\perp AD$ tại I nên I là trung điểm của đoạn thẳng AD

Suy ra BC là trung trực của đoạn thẳng AD.

Vì BC là đường trung trực của AD nên theo tính chất đường trung trực ta có:

BA = BD

Tam giác BAD cân tại B có BI $\perp$ AD tại I nên BI vừa là đường cao vừa là tia phân giác của góc ABD

$\Rightarrow \widehat{ABI}=\widehat{DBI}$

Mà :

$\widehat{ABI}=\widehat{HBF}$ (hai góc đối đỉnh)

$\widehat{DBI}=\widehat{HBE}$ (hai góc đối đỉnh)

$\Rightarrow \widehat{HBE}=\widehat{HBF}$

Tam giác EBF có BH là tia phân giác của góc EBF và cũng là đường cao do BH $\perp$ EF tại H nên tam giác EBF cân tại B.

b)

Xét tam giác EBF cân tại B, có $BH\perp \text{EF}$ nên BH là đường trung tuyến.

Suy ra HE = HF

Tam giác AEF vuông tại A có AH là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên: HA = HE = HF = $\frac{1}{2}$EF (tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông)

Do đó, tam giác AHF cân tại H .

c)

Tam giác AHF cân tại H nên ta có: $\widehat{HAF}=\widehat{HFA}$ (1)

Tam giác AOB cân tại O (do OA = OB) nên ta có: $\widehat{OAB}=\widehat{OBA}$

Mà: $\widehat{ABI}=\widehat{HBF}$ (hai góc đối đỉnh)

$\Rightarrow \widehat{OAB}=\widehat{HBF}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

$\widehat{HAO}=\widehat{HAF}+\widehat{OAB}=\widehat{HFB}+\widehat{HBF}$(3)

Tam giác BHF vuông tại H nên ta có:

$\widehat{HFB}+\widehat{HBF}={90}^o$ (4)

Từ (3) và (4) suy ra:

$\widehat{HAO}={90}^o\Rightarrow HA\perp AO$ tại A

Xem thêm lời giải sách bài tập Toán lớp 9 hay, chi tiết khác:

Bài 81 trang 171 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho đoạn thẳng AB, điểm C nằm giữa AB...

Bài 82 trang 171 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A...

Bài 83 trang 171 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B, OO’ = 3cm...

Bài 85 trang 172 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho đường tròn (O), đường kính AB, điểm M thuộc đường tròn...

Bài 86 trang 172 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho đường tròn (O), đường kính AB, điểm C nằm giữa A và O...

Bài 87 trang 172 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) tiếp xúc ngoài tại A (R > R’)...

Bài 88 trang 172 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB...

Bài tập bổ sung:

Bài II.1 trang 173 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Tỉ số bán kính đường tròn nội tiếp và đường tròn ngoại tiếp một tam giác đều...

Bài II.2 trang 173 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB...

Bài II.3 trang 173 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho đường tròn (O) và điểm A cố định trên đường tròn...