Cho đoạn thẳng AB, điểm C nằm giữa AB

Giải SBT Toán 9 Bài 9: Ôn tập chương 2

Bài 81 trang 171 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho đoạn thẳng AB, điểm C nằm giữa AB. Vẽ về một phía của AB các nửa đường tròn có đường kính theo thứ tự là AB, AC, BC. Đường vuông góc với AB tại C cắt nửa đường tròn lớn hơn tại D. DA, DB cắt các nửa đường tròn có đường kính AC, BC theo thứ tự tại M, N.

a) Tứ giác DMCN là hình gì ? Vì sao?

b) Chứng minh hệ thức DM.DA = DN.DB

c) Chứng minh rằng MN là tiếp tuyến chung của các nửa đường tròn có đường kính AC, BC

d) Điểm C ở vị trí nào trên AB thì MN có độ dài lớn nhất.

Lời giải:

a)

Tam giác ABD nội tiếp trong đường tròn có AB là đường kính nên tam giác ABD vuông tại D

$\Rightarrow \widehat{ADB}={90}^o\Rightarrow \widehat{MDN}={90}^o$

Tam giác ACM nội tiếp trong đường tròn có AC là đường kính nên tam giác ACM vuông tại M

$\Rightarrow \widehat{AMC}={90}^o\Rightarrow \widehat{CMD}={90}^o$

Tam giác BCN nội tiếp trong đường tròn có AC là đường kính nên  tam giác BCN vuông tại N

$\Rightarrow \widehat{BNC}={90}^o\Rightarrow \widehat{CND}={90}^o$

Do đó, tứ giác CMDN có ba góc vuông nên nó là hình chữ nhật

b)

Tam giác ACD vuông tại C có CM $\perp$ AD tại M

Do đó, CM là đường cao

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:

$C{D}^2=DM.DA$ (1)

Tam giác BCD vuông tại C có CN $\perp$ BD

Do đó, CN là đường cao

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:

$C{D}^2=DN.DB$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: DM.DA = DN.DB

c)

Gọi P là trung điểm của AC, Q là trung điểm của BC, I là giao điểm của MN với DC

Vì CMDN là hình chữ nhật nên IC = IM = ID = IN

Tam giác CNI cân tại I nên $\widehat{ICN}=\widehat{INC}$  (3)

Tam giác CNQ cân tại Q nên $\widehat{QCN}=\widehat{QNC}$ (4)

Vì AB $\perp$ CD tại C nên  $\widehat{ICN}+\widehat{QCN}={90}^o$(5)

Từ (3), (4) và (5) suy ra

$\widehat{INC}+\widehat{QNC}={90}^o$

$\Rightarrow$ MN $\perp$ QN tại N

Do đó, MN là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BC

Tam giác CMI cân tại I nên $\widehat{ICM}=\widehat{IMC}$ (6)

Tam giác CMP cân tại P nên $\widehat{PCM}=\widehat{PMC}$  (7)

Vì AB  CD tại C nên  $\widehat{ICM}+\widehat{PCM}={90}^o$(8)

Từ (6), (7) và (8) suy ra:  

$\widehat{PMC}+\widehat{IMC}={90}^o\Rightarrow MN\perp PM$

Do đó, MN là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AC

d)

Gọi O là trung điểm của AB

Tứ giác CMDN là hình chữ nhật nên CD = MN

Xét tam giác OCD ta có:

CD $\le$ OD nên MN $\le$ OD

Vì OD không đổi nên MN = OD là giá trị lớn nhất khi và chỉ khi C trùng với O

Vậy C là trung điểm của AB thì MN có độ dài lớn nhất.

Xem thêm lời giải sách bài tập Toán lớp 9 hay, chi tiết khác:

Bài 82 trang 171 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A...

Bài 83 trang 171 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B, OO’ = 3cm...

Bài 84 trang 171 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) nội tiếp trong đường tròn (O)...

Bài 85 trang 172 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho đường tròn (O), đường kính AB, điểm M thuộc đường tròn...

Bài 86 trang 172 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho đường tròn (O), đường kính AB, điểm C nằm giữa A và O...

Bài 87 trang 172 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) tiếp xúc ngoài tại A (R > R’)...

Bài 88 trang 172 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB...

Bài tập bổ sung:

Bài II.1 trang 173 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Tỉ số bán kính đường tròn nội tiếp và đường tròn ngoại tiếp một tam giác đều...

Bài II.2 trang 173 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB...

Bài II.3 trang 173 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho đường tròn (O) và điểm A cố định trên đường tròn...