Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn

Giải SBT Toán 9 Bài 9: Ôn tập chương 2

Bài II.2 trang 173 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn, vẽ các tia tiếp tuyến Ax và By với nửa đường tròn. Gọi M là điểm thuộc nửa đường tròn, D là giao điểm của AM và By, C là giao điểm của BM và Ax, E là trung điểm của BD. Chứng minh rằng:

a) AC.BD = $A{B}^2$;

b) ME là tiếp tuyến của nửa đường tròn.

Lời giải:

a)

Xét tam giác ABD vuông tại B

Có: $\widehat{A_1}+\widehat{D_1}={90}^o$ (1)

Tam giác AMB nội tiếp đường tròn đường kính AB nên tam giác AMB vuông tại M

$\Rightarrow \widehat{A_1}+\widehat{B_1}={90}^o$ (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra $\widehat{B_1}=\widehat{D_1}$ (cùng phụ với $\widehat{A_1}$)

Xét tam giác ABC và tam giác BDA

Có: $\widehat{B_1}=\widehat{D_1}$ (cmt)

$\widehat{BAC}=\widehat{ABD}={90}^o$

Do đó, tam giác ABC và tam giác BDA  đồng dạng (góc – góc)

$\Rightarrow \frac{AB}{BD}=\frac{AC}{BA}\Rightarrow A{B}^2=BD.AC$

b)

Vì tam giác AMB vuông tại M nên AD $\perp$ BM tại M

Do đó, tam giác BMD vuông tại M

Xét tam giác BMD vuông tại M

ME là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên

$ME=ED=EB=\frac{BD}{2}$

Do đó, tam giác EBM cân tại E

$\widehat{M_2}=\widehat{B_2}$ (1)

Lại có tam giác MOB cân tại O (do OM = OB)

nên $\widehat{M_1}=\widehat{B_1}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

$\widehat{M_1}+\widehat{M_2}=\widehat{B_1}+\widehat{B_2}=\widehat{OBD}={90}^o$

$\Rightarrow \widehat{OME}={90}^o\Rightarrow ME\perp OM$ tại M

Do đó, ME là tiếp tuyến của nửa đường tròn (O)

Xem thêm lời giải sách bài tập Toán lớp 9 hay, chi tiết khác:

Bài 81 trang 171 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho đoạn thẳng AB, điểm C nằm giữa AB...

Bài 82 trang 171 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A...

Bài 83 trang 171 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B, OO’ = 3cm...

Bài 84 trang 171 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) nội tiếp trong đường tròn (O)...

Bài 85 trang 172 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho đường tròn (O), đường kính AB, điểm M thuộc đường tròn...

Bài 86 trang 172 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho đường tròn (O), đường kính AB, điểm C nằm giữa A và O...

Bài 87 trang 172 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) tiếp xúc ngoài tại A (R > R’)...

Bài 88 trang 172 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB...

Bài tập bổ sung:

Bài II.1 trang 173 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Tỉ số bán kính đường tròn nội tiếp và đường tròn ngoại tiếp một tam giác đều...

Bài II.3 trang 173 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho đường tròn (O) và điểm A cố định trên đường tròn...