Cho tam giác ABC cân tại A, nội tiếp đường tròn (O)

Với giải bài tập 12 trang 158 sbt Toán lớp 9 Tập 1 được biên soạn lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh biết cách làm bài tập môn Toán 9. Mời các bạn đón xem:

1 31,479 17/11/2024

Trang trước

Trang sau

Giải SBT Toán 9 Bài 1: Sự xác định đường tròn. Tính chất đối xứng của đường tròn

Bài 12 trang 158 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho tam giác ABC cân tại A, nội tiếp đường tròn (O). Đường cao AH cắt đường tròn ở D.

a) Vì sao AD là đường kính của đường tròn (O) ?

b) Tính số đo góc ACD

c) Cho BC = 24cm, AC = 20cm. Tính đường cao AH và bán kính đường tròn (O).

Lời giải:

Xét tam giác ABC cân tại A

AH là đường cao đồng thời cũng là đường trung trực của BC.

Vì O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên O nằm trên đường trung trực của BC hay O thuộc AD.

Suy ra AD là đường kính của (O).

Xét tam giác ACD

Do ABC nội tiếp đường tròn (O) nên A, C nằm trên đường tròn tâm O

Mặt khác, do đường cao AH cắt đường tròn ở D nên D cũng nằm trên đường tròn tâm O

Do đó, tam giác ACD nội tiếp đường tròn (O)

Mà AD là đường kính

Do đó, tam giác ACD vuông tại C

$\Rightarrow \hat{A C D} = 90^{o}$

Xét tam giác ABC cân tại A

AH là đường cao đồng thời cũng là đường trung tuyến.

Do đó, H là trung điểm của BC

$\Rightarrow H B = H C = \frac{B C}{2} = \frac{24}{2} = 12$ (cm)

Xét tam giác AHC vuông tại H

Áp dụng định lí Py-ta-go ta có:

$A C^{2} = A H^{2} + H C^{2} \Rightarrow A H^{2} = A C^{2} - H C^{2} = 20^{2} - 12^{2} = 256$

$\Rightarrow A H = \sqrt{256} = 16$ (cm)

Xét tam giác ACD vuông tại C

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

$A C^{2} = A H . A D \Rightarrow A D = \frac{A C^{2}}{A H} = \frac{20^{2}}{16} = 25$ (cm)

Vậy bán kính của đường tròn (O) là:

$R = \frac{A D}{2} = \frac{25}{2} = 12, 5$ (cm)

*Phương pháp giải:

Dựa vào các tính chất sau:

+ Tính chất tam giác cân

+ Tính chất tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác

+Pytago

+Hệ thức lượng trong tam giác vuông

*Lý thuyết:

1. Hệ thức giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó trên cạnh huyềnĐịnh lí 1. Trong một tam giác vuông, bình phương mỗi cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và hình chiếu của cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền.Ví dụ 1. Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.Khi đó, BH và CH lần lượt là hình chiếu của AB và AC trên BC. Lý thuyết Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông chi tiết – Toán lớp 9 (ảnh 1)

Ta có: AB² = BC . BH; AC² = BC . HC.2. Một số hệ thức liên quan tới đường caoĐịnh lí 2. Trong một tam giác vuông, bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tích hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền.Ví dụ 2. Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.Khi đó, BH và CH lần lượt là hình chiếu của AB và AC trên BC. Lý thuyết Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông chi tiết – Toán lớp 9 (ảnh 1)

Ta có: AH² = BH . HC.Định lí 3. Trong một tam giác vuông, tích hai cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và đường cao tương ứng.Ví dụ 3. Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.Khi đó, BH và CH lần lượt là hình chiếu của AB và AC trên BC. Lý thuyết Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông chi tiết – Toán lớp 9 (ảnh 1)

Ta có: AB . AC = BC . AH.Định lí 4. Trong một tam giác vuông, nghịch đảo của bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tổng các nghịch đảo của bình phương hai cạnh góc vuông.Ví dụ 4. Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.Khi đó, BH và CH lần lượt là hình chiếu của AB và AC trên BC. Lý thuyết Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông chi tiết – Toán lớp 9 (ảnh 1)