Cho hypebol (H): x^2/144-y^2/25=1. Tìm tâm sai và độ dài

Giải Chuyên đề Toán 10 Chân trời sáng tạo Bài 2: Hypebol

Bài 1 trang 55 Chuyên đề Toán 10:

Cho hypebol $\left(H\right):\frac{x^2}{144}-\frac{y^2}{25}=1$.

a) Tìm tâm sai và độ dài hai bán kính qua tiêu của điểm $M\left(13;\frac{25}{12}\right)$ trên $\left(H\right)$.

b) Tìm tọa độ hai tiêu điểm và viết phương trình hai đường chuẩn tương ứng.

c) Tìm điểm N(x; y) $\in$ (H) sao cho NF₁ = 2NF₂ với F₁, F₂ là hai tiêu điểm của (H).

Lời giải:

a) Có a² = 144, b² = 25 $\Rightarrow$ a = 12, b = 5, $c=\sqrt{a^2+b^2}=13.$

Tâm sau của (H) là e = $\frac{c}{a}=\frac{13}{12}.$

Độ dài hai bán kính qua tiêu của điểm $M\left(13;\frac{25}{12}\right)$ là:

MF₁ = $\left|a+\frac{c}{a}x\right|$$=\left|12+\frac{13}{12}.13\right|=\frac{313}{12};$

 MF₂ = $\left|a-\frac{c}{a}x\right|=$$\left|12-\frac{13}{12}.13\right|=\frac{25}{12}.$

b) Hai tiêu điểm của hypebol là F₁(–13; 0) và F₂(13; 0).

Phương trình đường chuẩn ứng với tiêu điểm F₁ là

$$\begin{gathered} {\Delta }_1:x+\frac{a}{e}=0\iff x+\frac{a^2}{c}=0 \\ \iff x+\frac{144}{13}=0. \end{gathered}$$

Phương trình đường chuẩn ứng với tiêu điểm F₂ là

$$\begin{gathered} {\Delta }_1:x-\frac{a}{e}=0\iff x-\frac{a^2}{c}=0 \\ \iff x-\frac{144}{13}=0. \end{gathered}$$

c) 

+) x = $\frac{48}{13}$ loại vì 0 < x < a.

+) x = $\frac{432}{13}$ thì:

$$\begin{gathered} \frac{{\left(\frac{432}{13}\right)}^2}{144}-\frac{y^2}{25}=1 \\ \Rightarrow y^2=\frac{32400}{169} \\ \Rightarrow \left[\begin{array}{l}y=\frac{180}{13}\\ y=-\frac{180}{13}\end{array}\right.. \end{gathered}$$

Vậy có hai điểm N thoả mãn đề bài là N₁$\left(\frac{432}{13};\frac{180}{13}\right)$ và N₂$\left(\frac{432}{13};-\frac{180}{13}\right)$

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Khám phá 1 trang 50 Chuyên đề Toán 10: Cho hypebol (H) với phương trình chính tắc $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ và điểm M(x₀; y₀)...

Thực hành 1 trang 51 Chuyên đề Toán 10: Viết phương trình chính tắc của hypebol có kích thước của hình chữ nhật cơ sở là 8 và 6...

Vận dụng 1 trang 51 Chuyên đề Toán 10: Khi bay với vận tốc siêu thanh (tốc độ chuyển động lớn hơn tốc độ âm thanh trong cùng môi trường)...

Khám phá 2 trang 52 Chuyên đề Toán 10: Cho điểm M(x; y) nằm trên hypebol $\left(H\right):\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$. a) Chứng minh rằng F₁M² – F₂M² = 4cx...

Thực hành 2 trang 53 Chuyên đề Toán 10: Tính độ dài hai bán kính qua tiêu của điểm M(x; y) trên hypebol $\left(H\right):\frac{x^2}{64}-\frac{y^2}{36}=1$...

Vận dụng 2 trang 53 Chuyên đề Toán 10: Tính độ dài hai bán kính qua tiêu của đỉnh A₂(a; 0) trên hypebol (H): $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$...

Khám phá 3 trang 53 Chuyên đề Toán 10: Cho hypebol $\left(H\right):\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$. Chứng tỏ rằng $\frac{c}{a}>1$...

Thực hành 3 trang 53 Chuyên đề Toán 10: Tìm tâm sai của các hypebol sau: a) $\left(H_1\right):\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{1}=1$...

Vận dụng 3 trang 53 Chuyên đề Toán 10: Cho hypebol (H) có tâm sai bằng $\sqrt{2}$. Chứng minh trục thực và trục ảo của (H)...

Vận dụng 4 trang 53 Chuyên đề Toán 10: Một vật thể có quỹ đạo là một nhánh của hypebol (H), nhận tâm Mặt Trời...

Khám phá 4 trang 54 Chuyên đề Toán 10: Cho điểm M(x; y) trên hypebol $\left(H\right):\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ và hai đường thẳng...

Thực hành 4 trang 55 Chuyên đề Toán 10: Tìm toạ độ hai tiêu điểm và viết phương trình hai đường chuẩn tương ứng của các hypebol sau: a) $\left(H_1\right):\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{1}=1$...

Vận dụng 5 trang 55 Chuyên đề Toán 10: Lập phương trình chính tắc của hypebol có tiêu cự bằng 26 và khoảng cách...

Bài 2 trang 55 Chuyên đề Toán 10: Lập phương trình chính tắc của hypebol có tiêu cự bằng 20 và khoảng cách...

Bài 3 trang 55 Chuyên đề Toán 10: Cho đường tròn (C) tâm F₁, bán kính r và một điểm F₂ thoả mãn F₁F₂ = 4r...

Bài 4 trang 55 Chuyên đề Toán 10: Trong hoạt động mở đầu bài học, cho biết khoảng cách giữa hai trạm vô tuyến là 600 km...

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài tập cuối chuyên đề 2

Bài 1: Elip

Bài 3: Parabol

Bài 4: Tính chất chung của ba đường conic

Bài tập cuối chuyên đề 3