Cho hình vuông ABCD cạnh y (cm). Điểm E thuộc cạnh AB

Giải SBT Toán 9 Bài 5: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Bài 50 trang 15 SBT Toán 9 Tập 2: Cho hình vuông ABCD cạnh y (cm). Điểm E thuộc cạnh AB. Điểm G thuộc tia AD sao cho $AG=AD+\frac{3}{2}EB$ . Dựng hình chữ nhật GAEF. Đặt EB = 2x (cm). Tính x và y để diện tích của hình chữ nhật bằng diện tích hình vuông và ngũ giác ABCFG có chu vi bằng $100+4\sqrt{13}\left(cm\right)$ .

Lời giải:

Theo giải thuyết ta có: EB = 2x (cm)

Điều kiện: y > 2x > 0

AE = AB – EB = y – 2x (cm)

AG = AD +DG = y +$\frac{3}{2}EB=y+\frac{3}{2}.2x=y+3x\left(cm\right)$

Diện tích hình chữ nhật GAEF bằng diện tích hình vuông ABCD nên ta có phương trình:

$\left(y-2x\right)\left(y+3x\right)=y^2$

Mặt khác theo định lí Pitago ta có:

FC =$\sqrt{E{B}^2+D{G}^2}=\sqrt{4x^2+9x^2}=x\sqrt{13}\left(cm\right)$

Chu vi ngũ giác ABCFG bằng:

AB + BC + CF + FG + GA = y + y + x$\sqrt{13}$  + y – 2x + 3x + y

=$\left(1+\sqrt{3}\right)x+4y$

Chu vi ngũ giác ABCFG bằng 100 + 4$\sqrt{3}$  (cm) nên ta có phương trình:

$\left(1+\sqrt{3}\right)x+4y$= 100 + 4$\sqrt{3}$

Ta có hệ phương trình:$\left\{\begin{array}{l}\left(y-2x\right)\left(y+3x\right)=y^2\\ x\left(1+\sqrt{13}\right)+4y=100+4\sqrt{13}\end{array}\right.$

 $\iff \left\{\begin{array}{l}{y}^2+3xy-2xy-6x^2=y^2\\ \left(1+\sqrt{13}\right)x+4y=100+4\sqrt{13}\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}xy-6x^2=0\\ \left(1+\sqrt{13}\right)x+4y=100+4\sqrt{13}\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}x\left(y-6x\right)=0\\ \left(1+\sqrt{13}\right)x+4y=100+4\sqrt{13}\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}y-6x=0\\ \left(1+\sqrt{13}\right)x+4y=100+4\sqrt{13}\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}y=6x\\ \left(1+\sqrt{13}\right)x+4y=100+4\sqrt{13}\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}y=6x\\ \left(1+\sqrt{13}\right)x+4.6x=100+4\sqrt{13}\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}y=6x\\ \left(25+\sqrt{13}\right)x=100+4\sqrt{13}\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}x=\frac{100+4\sqrt{13}}{25+\sqrt{13}}\\ y=6x\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}x=4\\ y=4.6=24\end{array}\right.$(thỏa mãn điều kiện)

Vậy x = 4 (cm); y = 24 (cm).

Xem thêm lời giải sách bài tập Toán lớp 9 hay, chi tiết khác:

Câu hỏi 35 trang 13 SBT Toán 9 Tập 2: Tổng của hai số bằng 59...

Câu hỏi 36 trang 13 SBT Toán 9 Tập 2: Bảy năm trước tuổi mẹ bằng năm lần...

Câu hỏi 37 trang 13 SBT Toán 9 Tập 2: Cho một số có hai chữ số...

Câu hỏi 38 trang 13 SBT Toán 9 Tập 2: Hai anh Quang và Hùng góp vốn cùng...

Câu hỏi 39 trang 13 SBT Toán 9 Tập 2: Hôm qua mẹ của Lan đi chợ mua 5 quả...

Câu hỏi 40 trang 13 SBT Toán 9 Tập 2: Một sân trường hình chữ nhật có chu vi...

Câu hỏi 41 trang 13 SBT Toán 9 Tập 2: Làm trần tầng một của nhà văn hóa xã...

Câu hỏi 42 trang 14 SBT Toán 9 Tập 2: Trong phòng học có một ghế dài...

Câu hỏi 43 trang 14 SBT Toán 9 Tập 2: Trên một cánh đồng cấy 60 ha lúa giống...

Câu hỏi 44 trang 14 SBT Toán 9 Tập 2: Hai người thợ cùng xây một bức tường...

Câu hỏi 45 trang 14 SBT Toán 9 Tập 2: Hai công nhân cùng sơn cửa cho một...

Câu hỏi 46 trang 14 SBT Toán 9 Tập 2: Hai cần cẩu lớn bốc dỡ một lô hàng ở...

Câu hỏi 47 trang 14 SBT Toán 9 Tập 2: Bác Toàn đi xe đạp từ thị xã về làng...

Câu hỏi 48 trang 14 SBT Toán 9 Tập 2: Ga Sài Gòn cách ga Dầu Giây...

Câu hỏi 49 trang 14 SBT Toán 9 Tập 2: Để sửa một ngôi nhà cần một số thợ làm...

Bài tập bổ sung

Câu hỏi 1 trang 15 SBT Toán 9 Tập 2: Tổng số tuổi của tôi và của em tôi năm...

Câu hỏi 2 trang 15 SBT Toán 9 Tập 2: Có hai bến xe khách...