Cho hai nửa đường tròn đường kính AB. Gọi C là điểm

Giải SBT Toán 9 Ôn tập chương III

Bài 79 trang 114 SBT Toán 9 Tập 2: Cho hai nửa đường tròn đường kính AB. Gọi C là điểm chạy trên nửa đường tròn đó.Trên AC lấy điểm D sao cho AD = BC. Qua A kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn rồi lấy AE = AB (E và C cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ AB)

a) Tính quỹ tích điểm D

b) Tính diện tích phần chung của hai nửa hình tròn đường kính AB và AE

Lời giải:

a)

Chứng minh thuận

Nối DE

Xét tam giác ABC và tam giác AED có:

AB = AE (gt)

AD = BC (gt)

 $\widehat{EAD}=\widehat{ABC}$ (hệ quả góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung)

Do đó, tam giác ABC bằng tam giác AED (cạnh - góc - cạnh)

Mà  $\widehat{ACB}={90}^o$(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

$\Rightarrow \widehat{EDA}={90}^o$

Điểm C chuyển động trên nửa đường tròn đường kính AB thì điểm D luôn nhìn đoạn AE cố định dưới một góc bằng ${90}^o$  nên điểm D nằm trên nửa đường tròn đường kính AE nằm trong nửa mặt phẳng bờ AE chứa nửa đường tròn đường kính AB

Chứng minh đảo:

Trên nửa đường tròn đường kính AE lấy điểm D’ bất kì, đường thẳng AD’ cắt nửa đường tròn đường kính AB tại C’. Nối ED’ ,BC’

Xét tam giác AC’B vuông tại C’ (do tam giác nội tiếp đường tròn đường kính AB)

$\Rightarrow \widehat{C\text{'}AB}+\widehat{C\text{'}BA}={90}^o$

Mà $\widehat{EA{D}^{\text{'}}}+\widehat{C\text{'}AB}=\widehat{EAB}={90}^o$

$\widehat{EA{D}^{\text{'}}}=\widehat{ABC\text{'}}$

Xét tam giác AD’E và tam giác BC’A có:

 $\widehat{D\text{'}}=\widehat{C\text{'}}={90}^o$ (các góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

AE = AB (gt)

 $\widehat{EA{D}^{\text{'}}}=\widehat{ABC\text{'}}$(cmt)

Do đó, tam giác AD’E và tam giác BC’A bằng nhau (góc – cạnh – góc)

$\Rightarrow AD\text{'}=BC\text{'}$

Vậy khi điểm C chạy trên nửa đường tròn đường kính AB thì quỹ tích điểm D là nửa đường tròn đường kính AE

b)

Gọi O và O’ lần lượt là tâm hai đường tròn đường kính AB và AE ,M là giao điểm thứ hai của hai đường tròn

Vì AB = AE nên ta có : OA = OM = O’A = O’M

Do đó, tứ giác AOMO’ là hình thoi

Có $\widehat{BAE}={90}^o$

Do đó, AOMO’ là hình vuông

Diện tích phần chung của hai nửa đường tròn bằng diện tích hai quạt tròn có chung AmM trừ đi diện tích hình vuông

Diện tích hình quạt AOM là: $\frac{\pi {\left(\frac{AB}{2}\right)}^2.90}{360}=\frac{\pi A{B}^2}{16}$ (đơn vị diện tích)

Diện tích của hình vuông AOMO’ là: ${\left(\frac{AB}{2}\right)}^2=\frac{A{B}^2}{4}$ (đơn vị diện tích)

Diện tích phần chung là:  $2.\frac{\pi A{B}^2}{16}-\frac{A{B}^2}{4}=\frac{A{B}^2}{8}\left(\pi -2\right)$ (đơn vị diện tích)

Xem thêm lời giải sách bài tập Toán lớp 9 hay, chi tiết khác:

Câu hỏi 73 trang 113 SBT Toán 9 Tập 2: Cho đường tròn đường kính AB...

Câu hỏi 74 trang 114 SBT Toán 9 Tập 2: Cho lục giác đều ABCDEF...

Câu hỏi 75 trang 114 SBT Toán 9 Tập 2: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn...

Câu hỏi 76 trang 114 SBT Toán 9 Tập 2: Hai ròng rọc có tâm O, O’ và bán kính R...

Câu hỏi 77 trang 114 SBT Toán 9 Tập 2: Tính diện tích phần tô màu trên hình...

Câu hỏi 78 trang 114 SBT Toán 9 Tập 2: Cho tam giác AHB có...

Bài tập bổ sung

Câu hỏi III.1 trang 114 SBT Toán 9 Tập 2: Cho tam giác đều ACB và ACD, cạnh a...

Câu hỏi III.2 trang 115 SBT Toán 9 Tập 2: Cho đường tròn tâm O bán kính R...

Câu hỏi III.3 trang 115 SBT Toán 9 Tập 2: Góc nội tiếp là góc...

Câu hỏi III.4 trang 115 SBT Toán 9 Tập 2: Một đường tròn là đường tròn...

Câu hỏi III.5 trang 115 SBT Toán 9 Tập 2: Một tứ giác là tứ giác nội tiếp...

Câu hỏi III.6 trang 115 SBT Toán 9 Tập 2: Quỹ tích các điểm M nhìn đoạn thẳng...

Câu hỏi III.7 trang 116 SBT Toán 9 Tập 2: Độ dài của nửa đường tròn có đường...

Câu hỏi III.8 trang 116 SBT Toán 9 Tập 2: Diện tích của nửa hình tròn có đường...

Câu hỏi III.9 trang 116 SBT Toán 9 Tập 2: Cho hình sau...

Câu hỏi III.10 trang 116 SBT Toán 9 Tập 2: Tam giác đều ABC nội tiếp đường...

Câu hỏi III.11 trang 116 SBT Toán 9 Tập 2: Hình vuông XYZT nội tiếp đường tròn...

Câu hỏi III.12 trang 116 SBT Toán 9 Tập 2: Cho hình như hình bên...