Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho ba điểm không thẳng hàng A(– 3; 1), B(– 1; 3), I(4; 2). Tìm toạ độ của hai điểm C, D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành nhận I làm tâm đối xứng.

Hướng dẫn giải

Gọi tọa độ điểm C(x_C; y_C), tọa độ điểm D(x_D; y_D).

Khi đó ta có: \(\overrightarrow {AI} = \left( {4 - \left( { - 3} \right);\,2 - 1} \right) = \left( {7;\,\,1} \right)\), \(\overrightarrow {IC} = \left( {{x_C} - 4;\,{y_C} - 2} \right)\).

Vì I là tâm đối xứng của hình bình hành ABCD nên I là trung điểm của AC, do đó \(\overrightarrow {AI} = \overrightarrow {IC} \)

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {IC} = \left( {7;\,\,1} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} - 4 = 7\\{y_C} - 2 = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} = 11\\{y_C} = 3\end{array} \right.\).

Vậy tọa độ điểm C là C(11; 3).

Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {\left( { - 1} \right) - \left( { - 3} \right);3 - 1} \right) = \left( {2;\,2} \right)\), \(\overrightarrow {DC} = \left( {11 - {x_D};\,\,3 - {y_D}} \right)\).

Vì ABCD là hình bình hành nên \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \)\( \Leftrightarrow \overrightarrow {DC} = \left( {2;\,\,2} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}11 - {x_D} = 2\\3 - {y_D} = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_D} = 9\\{y_D} = 1\end{array} \right.\).

Vậy tọa độ điểm D là D(9; 1).