Trong mặt phẳng có m đường thẳng song song với nhau và n  đường thẳng vuông góc với m đường thẳng song song đó ($m,n\in \mathbb{N};m,n\ge 2$). Có nhiều nhất bao nhiêu hình chữ nhật được tạo thành từ các đường thẳng đó nếu $m+n=15$?

Cho tam giác vuông OPM có cạnh OP nằm trên trục Ox, cạnh huyền OM không đổi, $OM=R$ ( R>0 ). Tính theo R giá trị lớn nhất của thể tích khối tròn xoay thu được khi quay tam giác đó xung quanh trục Ox.

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có đồ thị là đường gấp khúc như hình vẽ bên. Tính ${\int }_0^{9}f\left(x\right)dx$.

Biết ${\int }_0^{x^2}f\left(t\right)dt=x\cos \left(\pi x\right)$ $\forall x\in ℝ$. Tính $f\left(4\right)$.

Gọi S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi parabol $y=\frac{x^2}{2}$ và đường tròn có tâm tại gốc tọa độ, bán kính bằng $2\sqrt{2}$. Biết $S=a\pi +\frac{b}{c}$, trong đó $a,b,c\in {\mathbb{N}}^{*},\left(b,c\right)=1$. Tính tổng $a+b+c$.

Cho số phức $z=2-5i$. Tìm phương trình bậc hai nhận $\frac{1}{z}$ và $\frac{1}{\overline{z}}$ làm nghiệm.

Trong không gian Oxyz cho tứ diện ABCD có thể tích $V=5$, các đỉnh $A=\left(2;1;-1\right),B=\left(3;0;1\right)$, $C=\left(2;-1;3\right)$, đỉnh thứ tư D nằm trên trục Oy và có tung độ dương. Tìm tọa độ của D.

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi $B_1,C_1$ lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SC. Tính bán kính mặt cầu đi qua năm điểm A, B, C, $B_1,C_1$.

Một đoàn tàu được ghép bởi bốn toa tàu A, B, C, D và được kéo bởi một đầu máy. Có bao nhiêu cách sắp xếp các toa tàu sao cho toa A gần đầu máy hơn toa B?

Trong không gian Oxyz, viết phương trình đường thẳng $\Delta$ song song với trục Oz và cắt hai đường thẳng $d:\frac{x}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-6}{3}$; $d^{\text{'}}:\frac{x-1}{1}=\frac{y+2}{1}=\frac{z-3}{-1}$.

Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A\text{'}B\text{'}C\text{'}$. Gọi I, J lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC và $A\text{'}B\text{'}C\text{'}$. Thiết diện tạo bởi mặt phẳng $\left(AIJ\right)$ với hình lăng trụ đã cho là hình gì?

Cho m và n là các số nguyên. Biết hàm số $y=2x^3+3\left(1-m\right)x^2+6\left(m-2\right)x+n$ có các cực trị đều là những số dương và một điểm cực trị $x_0=2$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $m+n$.

Tìm tập hợp các điểm M trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức $w=\left(1+i\sqrt{3}\right)z+2$, trong đó $\left|z-1\right|\le 2$.

Cho ${\int }_a^{d}f\left(x\right)dx=\mathrm{5,}{\int }_b^{d}f\left(x\right)dx=2$. Tính ${\int }_b^{a}f\left(x\right)dx$.

Cho hai số thực dương a và b. Rút gọn biểu thức $A=\frac{a^{\frac{1}{3}}\sqrt{b}+b^{\frac{1}{3}}\sqrt{a}}{\sqrt[6]{a}+\sqrt[6]{b}}$.

Đồ thị hàm số nào dưới đây không có tiệm cận ngang?