Gọi S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi parabol $y=\frac{x^2}{2}$ và đường tròn có tâm tại gốc tọa độ, bán kính bằng $2\sqrt{2}$. Biết $S=a\pi +\frac{b}{c}$, trong đó $a,b,c\in {\mathbb{N}}^{*},\left(b,c\right)=1$. Tính tổng $a+b+c$.

Cho tam giác vuông OPM có cạnh OP nằm trên trục Ox, cạnh huyền OM không đổi, $OM=R$ ( R>0 ). Tính theo R giá trị lớn nhất của thể tích khối tròn xoay thu được khi quay tam giác đó xung quanh trục Ox.

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có đồ thị là đường gấp khúc như hình vẽ bên. Tính ${\int }_0^{9}f\left(x\right)dx$.

Biết ${\int }_0^{x^2}f\left(t\right)dt=x\cos \left(\pi x\right)$ $\forall x\in ℝ$. Tính $f\left(4\right)$.

Cho số phức $z=2-5i$. Tìm phương trình bậc hai nhận $\frac{1}{z}$ và $\frac{1}{\overline{z}}$ làm nghiệm.

Trong không gian Oxyz cho tứ diện ABCD có thể tích $V=5$, các đỉnh $A=\left(2;1;-1\right),B=\left(3;0;1\right)$, $C=\left(2;-1;3\right)$, đỉnh thứ tư D nằm trên trục Oy và có tung độ dương. Tìm tọa độ của D.

Một đoàn tàu được ghép bởi bốn toa tàu A, B, C, D và được kéo bởi một đầu máy. Có bao nhiêu cách sắp xếp các toa tàu sao cho toa A gần đầu máy hơn toa B?

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi $B_1,C_1$ lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SC. Tính bán kính mặt cầu đi qua năm điểm A, B, C, $B_1,C_1$.

Trong không gian Oxyz, viết phương trình đường thẳng $\Delta$ song song với trục Oz và cắt hai đường thẳng $d:\frac{x}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-6}{3}$; $d^{\text{'}}:\frac{x-1}{1}=\frac{y+2}{1}=\frac{z-3}{-1}$.

Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A\text{'}B\text{'}C\text{'}$. Gọi I, J lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC và $A\text{'}B\text{'}C\text{'}$. Thiết diện tạo bởi mặt phẳng $\left(AIJ\right)$ với hình lăng trụ đã cho là hình gì?

Cho m và n là các số nguyên. Biết hàm số $y=2x^3+3\left(1-m\right)x^2+6\left(m-2\right)x+n$ có các cực trị đều là những số dương và một điểm cực trị $x_0=2$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $m+n$.

Tìm tập hợp các điểm M trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức $w=\left(1+i\sqrt{3}\right)z+2$, trong đó $\left|z-1\right|\le 2$.

Cho ${\int }_a^{d}f\left(x\right)dx=\mathrm{5,}{\int }_b^{d}f\left(x\right)dx=2$. Tính ${\int }_b^{a}f\left(x\right)dx$.

Cho hai số thực dương a và b. Rút gọn biểu thức $A=\frac{a^{\frac{1}{3}}\sqrt{b}+b^{\frac{1}{3}}\sqrt{a}}{\sqrt[6]{a}+\sqrt[6]{b}}$.

Đồ thị hàm số nào dưới đây không có tiệm cận ngang?

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số a sao cho hai đường thẳng sau đây cắt nhau. $d:\left\{\begin{array}{l}x=1+a^{2}t\\ y=t\\ z=-1+2t\end{array}\right.$ $\left(t\in ℝ\right)$ và $d\text{'}:\left\{\begin{array}{l}x=3-t\text{'}\\ y=2+t\text{'}\\ z=3-t\text{'}\end{array}\right.$  $\left(t^{\text{'}}\in ℝ\right)$