Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm $A\left(1;2;3\right)$, $B\left(3;4;5\right)$ và mặt phẳng $\left(\alpha \right): \mathrm{x}+2y+3z-14=0$ Gọi Δ là đường thẳng thay đổi nằm trong mặt phẳng (α), các điểm M,N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A,B trên Δ. Biết rằng khi AM = BN thì trung điểm của MN luôn thuộc một đường thẳng cố định. Viết phương trình đường thẳng cố định đó.

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có AA'=AB=AC=1,$\widehat{BAC}={120}^{°}$ Gọi M là trung điểm cạnh CC′. Côsin góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB′M) bằng

Hình nón có góc ở đỉnh bằng ${60}^{°}$ và chiều cao bằng $\sqrt{3}$. Độ dài đường sinh của hình nón là

Cho tập A = {1,2,...,100} Gọi S là tập hợp tất cả các tập con của A, mỗi tập con gồm 2 phần tử có tổng bằng 100. Chọn ngẫu nhiên một phần tử thuộc S. Xác suất để chọn được phần tử có tích hai số là một số chính phương bằng

Tích phân ${\int }_1^3{e}^{3x+1}dx$ bằng

Có bao nhiêu số nguyên âm m để hàm số $y=\ln \left(x^3+mx+2\right)$ đồng biến trên khoảng $\left(1;+\infty \right)$

Cho khối tứ diện ABCD có AB = x, AC = AD = CB = DB =$2\sqrt{3}$ khoảng cách giữa AB,CD bằng 1. Tìm x, để khối tứ diện ABCD có thể tích lớn nhất.

Có bao nhiêu số nguyên $m<10$ để hàm số $\mathrm{y}=\left|x^3-mx+1\right|$ có 5 điểm cực trị.

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′ có tất cả các cạnh bằng a. Gọi M,N lần lượt là trung điểm các cạnh AB,B′C′ (tham khảo hình vẽ bên). Côsin góc giữa hai đường thẳng MN và AC bằng

Họ các nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=\frac{1}{{\sin }^2\left(x+2\right)}$ là

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm $A\left(1;0;0\right)$, $B\left(0;2;0\right)$, $C\left(0;0;3\right)$ Mặt cầu tâm $I\left(2;2;2\right)$ tiếp xúc với mặt phẳng (ABC) có bán kính bằng

Cho tập  Gọi S là tập hợp tất cả các tập con của A, mỗi tập con gồm 2 phần tử có tổng bằng 100. Chọn ngẫu nhiên một phần tử thuộc S. Xác suất để chọn được phần tử có tích hai số là một số chính phương bằng

Giá trị lớn nhất của hàm số $f\left(x\right)=-x^2-\frac{1}{x}+1$ trên đoạn $\left[-2;-1\right]$ bằng

Cho ${\int }_1^e\frac{\ln x}{{\left(\ln x+x+1\right)}^2}dx=\frac{ae-2}{be+4}$ với a,b là các số nguyên dương. Giá trị của biểu thức $b-a$ bằng

Đường thẳng nào dưới đây là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}$ khi $x\to +\infty$

Rút gọn $x\sqrt{x} : \sqrt[3]{x} \left(x>0\right)$ ta được