Trong không gian Oxyz, cho điểm $M\left(1;2;3\right).$ Hình chiếu của M lên trục Oy là điểm

Sau khi khai triển và rút gọn biểu thức $f\left(x\right)={\left(x^2+\frac{3}{x}\right)}^{12}+{\left(2x^3+\frac{1}{x^2}\right)}^{21}$ thì f(x) có bao nhiêu số hạng?

Biết tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=a{x}^4+b{x}^2+2$ tại điểm $A\left(-1;1\right)$ vuông góc với đường thẳng $x-2y+3=0.$ Tính $a^2-b^2?$

Trong không gian Oxyz cho các mặt phẳng $\left(P\right):x-y+2z+1=0,\left(Q\right):2x+y+z-1=0$ Gọi (S) là mặt cầu có tâm thuộc trục hoành, đồng thời (S) cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng 2 và (S) cắt mặt phẳng (Q) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng r. Xác định r sao cho chỉ đúng một mặt cầu (S) thỏa yêu cầu.

Bất phương trình ${\log }_2\left({\log }_{\frac{1}{3}}\frac{3x-7}{x+3}\right)\ge 0$ có tập nghiệm là $\left(a;b\right].$ Tính giá trị của $P=3a-b$ là:

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có $AB=1,AC=2,\text{AA}\text{'}=3$ và $BAC={120}^0.$ Gọi M, N lần lượt là các điểm trên cạnh BB’, CC’ sao cho $BM=3B\text{'}M;CN=2C\text{'}N.$ Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng $\left(A\text{'}BN\right).$

Cho số thực dương x, y thỏa mãn ${\log }_{6}x={\log }_{9}y={\log }_4\left(2x+2y\right).$ Tính tỉ số $\frac{x}{y}?$

Cho hàm số $y=\frac{x+1}{x-1}$ có đồ thị (C). Giả sử A, B là hai điểm thuộc (C) và đối xứng với nhau qua giao điểm của hai đường tiệm cận. Dựng hình vuông AEBF. Tìm diện tích nhỏ nhất của hình vuông AEBF.

Cho a, b là các số dương thỏa mãn ${\log }_{4}a={\log }_{25}b=\log \frac{4b-a}{2}.$ Tính giá trị của $\frac{a}{b}?$

Cho hai hàm số $y=f\left(x\right)$ và $y=g\left(x\right)$ là hai hàm số liên tục trên $\mathrm{ℝ}$ có đồ thị hàm số $y=f\text{'}\left(x\right)$ là đường cong nét đậm, đồ thị hàm số $y=g\text{'}\left(x\right)$ là  đường cong nét mảnh  như  hình vẽ. Gọi ba giao điểm A, B, C của $y=f\text{'}\left(x\right)$ và $y=g\text{'}\left(x\right)$ trên hình vẽ lần lượt có hoành độ là a,b,c. Tìm  giá trị  nhỏ nhất của hàm số $h\left(x\right)=f\left(x\right)-g\left(x\right)$ trên đoạn $\left[a;b\right]?$

Cho hình nón đỉnh S có bán kính đáy $R=a\sqrt{2},$ góc ở đình bằng ${60}^0.$ Diện tích xung quanh của hình nón bằng

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Gọi M, N lần lượt là trung  điểm của AC và B’C’ (tham khảo hình vẽ bên). Khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và B’D’ bằng

Giá trị cực tiểu của hàm số $y=x^2\ln x$ là

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $\left(S\right):{\left(x-1\right)}^2+{\left(y+2\right)}^2+{\left(z+1\right)}^2=8$ và điểm $M\left(-1;1;2\right).$ Hai đường thẳng $d_1,d_2$ qua điểm M và tiếp xúc với mặt cầu (S) lần lượt tại A, B. Biết góc giữa $d_1$ và $d_2$bằng $\alpha$, với $cos\alpha =\frac{3}{4}.$ Tính độ dài đoạn  AB

Tìm m để hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2+4x+3}{x+1}khix>-1\\ mx+2khix\le -1\end{array}\right.$ liên tục tại điểm x = 1

Cho $k,n\left(k<n\right)$ là các số nguyên dương. Mệnh đề nào sau đây sai ?