Cho hai hàm số $y=f\left(x\right)$ và $y=g\left(x\right)$ là hai hàm số liên tục trên $\mathrm{ℝ}$ có đồ thị hàm số $y=f\text{'}\left(x\right)$ là đường cong nét đậm, đồ thị hàm số $y=g\text{'}\left(x\right)$ là  đường cong nét mảnh  như  hình vẽ. Gọi ba giao điểm A, B, C của $y=f\text{'}\left(x\right)$ và $y=g\text{'}\left(x\right)$ trên hình vẽ lần lượt có hoành độ là a,b,c. Tìm  giá trị  nhỏ nhất của hàm số $h\left(x\right)=f\left(x\right)-g\left(x\right)$ trên đoạn $\left[a;b\right]?$

Cho a, b là các số dương thỏa mãn ${\log }_{4}a={\log }_{25}b=\log \frac{4b-a}{2}.$ Tính giá trị của $\frac{a}{b}?$

Sau khi khai triển và rút gọn biểu thức $f\left(x\right)={\left(x^2+\frac{3}{x}\right)}^{12}+{\left(2x^3+\frac{1}{x^2}\right)}^{21}$ thì f(x) có bao nhiêu số hạng?

Cho hai đường tròn $\left(O_1;5\right)$ và $\left(O_2;5\right)$ cắt nhau tại 2 điểm A,B sao cho AB là  1  đường kính của đường tròn $\left(O_2\right).$ Gọi (D) là hình phẳng được giới hạn bởi 2 đường tròn (ở ngoài đường tròn lớn, phần tô màu như hình vẽ). Quay (D) quanh trục $O_1;O_2$ ta được 1 khối tròn xoay. Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành.

Biết tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=a{x}^4+b{x}^2+2$ tại điểm $A\left(-1;1\right)$ vuông góc với đường thẳng $x-2y+3=0.$ Tính $a^2-b^2?$

Giá trị cực tiểu của hàm số $y=x^2\ln x$ là

Trong không gian Oxyz cho các mặt phẳng $\left(P\right):x-y+2z+1=0,\left(Q\right):2x+y+z-1=0$ Gọi (S) là mặt cầu có tâm thuộc trục hoành, đồng thời (S) cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng 2 và (S) cắt mặt phẳng (Q) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng r. Xác định r sao cho chỉ đúng một mặt cầu (S) thỏa yêu cầu.

Cho hàm số $y=\frac{x+1}{x-1}$ có đồ thị (C). Giả sử A, B là hai điểm thuộc (C) và đối xứng với nhau qua giao điểm của hai đường tiệm cận. Dựng hình vuông AEBF. Tìm diện tích nhỏ nhất của hình vuông AEBF.

Bất phương trình ${\log }_2\left({\log }_{\frac{1}{3}}\frac{3x-7}{x+3}\right)\ge 0$ có tập nghiệm là $\left(a;b\right].$ Tính giá trị của $P=3a-b$ là:

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có $AB=1,AC=2,\text{AA}\text{'}=3$ và $BAC={120}^0.$ Gọi M, N lần lượt là các điểm trên cạnh BB’, CC’ sao cho $BM=3B\text{'}M;CN=2C\text{'}N.$ Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng $\left(A\text{'}BN\right).$

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Gọi M, N lần lượt là trung  điểm của AC và B’C’ (tham khảo hình vẽ bên). Khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và B’D’ bằng

Tìm m để hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2+4x+3}{x+1}khix>-1\\ mx+2khix\le -1\end{array}\right.$ liên tục tại điểm x = 1

Cho hình chóp S.ABCD có $SA\perp \left(ABCD\right),AC=a\sqrt{2},S_{ABCD}=\frac{3a^2}{2}$ và góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) bằng ${60}^0.$ Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên  SC. Tính theo a thể tích khối chóp H.ABCD.

Cho số thực dương x, y thỏa mãn ${\log }_{6}x={\log }_{9}y={\log }_4\left(2x+2y\right).$ Tính tỉ số $\frac{x}{y}?$

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn véctơ $\overrightarrow{a}=\left(2;3;1\right),\overrightarrow{b}=\left(5;7;0\right),\overrightarrow{c}=\left(3;-2;4\right)$và $\overrightarrow{d}=\left(4;12;-3\right).$ Mệnh đề nào sau đây sai?

Cho hình nón đỉnh S có bán kính đáy $R=a\sqrt{2},$ góc ở đình bằng ${60}^0.$ Diện tích xung quanh của hình nón bằng