Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $\left(S\right):{\left(x-1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2+{\left(z-3\right)}^2=\mathrm{36,}$ điểm I(1;2;0) và đường thẳng $d:\frac{x-2}{3}=\frac{y-2}{4}=\frac{z}{-1}.$ Tìm tọa độ điểm M thuộc d, N thuộc (S) sao cho I là trung điểm của MN.

Cho hàm f(x) liên tục trên [0;1], biết $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left[f^2\left(x\right)+2{\ln }^2\left(\frac{2}{e}\right)\right]dx=2\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left[f\left(x\right)\ln \left(x+1\right)\right]dx.$Tích phân $I=\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx.$

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = 3a, AD = 4a, AA' = 4a. Gọi G là trọng tâm tam giác CC'D . Mặt phẳng chứa B'G và song song với C'D chia khối hộp thành 2 phần. Gọi (H) là khối đa diện chứa C. Tính tỉ số $\frac{V_{\left(II\right)}}{V}$ với V là thể tích khối hộp đã cho.

Cho tứ diện ABCD có AB = CD = 11m, BC = AD = 20m, BD = AC = 21m. Tính thể tích khối tứ diện ABCD

Hai mặt phẳng nào dưới đây tạo với nhau một góc $60°$?

Tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số $y=-x^4+\left(2m-3\right)x^2+m$ nghịch biến trên khoảng (1;2) là $\left(-\infty ;\frac{p}{q}\right)$ trong đó phân số $\frac{p}{q}$ tối giản và q > 0. Hỏi tổng p + q là:

Cho khối tứ diện OABC với OA, OB, OC vuông góc từng đôi một và 0A = a, OB = 2a, OC = 3a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AC, BC. Thể tích của khối tứ diện OCMN theo a bằng.

Cho số phức z thỏa mãn $3z+2\overline{z}={\left(4-i\right)}^2.$ Môđun của số phức z là

Cho số phức $z={\left(\frac{2+6i}{3-i}\right)}^m,m$ nguyên dương. Có bao nhiêu giá trị $m\in \left[1;50\right]$ để z là số thuần ảo?

Một vật có kích thước và hình dáng như hình vẽ dưới đây. Đáy là hình tròn giới hạn bởi đường tròn $x^2+y^2=16$ (nằm trong mặt phẳng Oxy), cắt vật bởi các mặt phẳng vuông góc với trục Ox ta được thiết diện là hình vuông. Thể tích của vật thể là

Cho hàm số $y=f\left(x\right)=\frac{2x+m}{x-1}.$ Tính tổng các giá trị của tham số m để $\left|\underset{\left[2;3\right]}{\max }f\left(x\right)-\underset{\left[2;3\right]}{\min }f\left(x\right)\right|=2.$

Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

Cho hàm số $f\left(x\right)$ có đạo hàm trên $ℝ$ sao cho $f^{\text{'}}\left(x\right)<0;\forall x>0.$ Hỏi mệnh đề nào dưới đây đúng?

Cho hình nón tròn xoay có thiết diện qua đỉnh là một tam giác vuông cân. Hãy chọn câu sai trong các câu sau:

Phát biểu nào sau đây là đúng

Cho hàm số $y=x^3-3x^2+2.$ Khẳng định nào sau đây là đúng?