Trong 1 lạng (100 g) thịt bò chứa khoảng 26 g protein, 1 lạng cá rô phi chứa khoảng 20 g protein. Trung bình mỗi ngày, một người phụ nữ cần tối thiểu 46 g protein. (Nguồn: https://vinmec.com và https://thanhnien.vn) Gọi  x, y lần lượt là số lạng thịt bò và số lạng cá rô phi mà một người phụ nữ nên ăn trong một ngày. Viết bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y để biểu diễn lượng protein cần thiết cho một người phụ nữ trong một ngày và chỉ ra ba nghiệm của bất phương trình đó.

*Lời giải

Trong 1 lạng thịt bò chứa khoảng 26 g protein nên trong x lạng thịt bò chứa khoảng 26x (g protein).

Trong 1 lạng cá rô phi chứa khoảng 20 g protein nên trong y lạng cá rô phi chứa khoảng 20y (g protein).

Tổng số lượng protein mà một người phụ nữ nên ăn trong một ngày là: 26x + 20y (g protein).

Trung bình mỗi ngày, một người phụ nữ cần tối thiểu 46 g protein.

Do đó, bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y để biểu diễn lượng protein cần thiết cgo một người phụ nữ trong một ngày là: 26x + 20y ≥ 46.

Cặp số (x0; y0) là nghiệm của bất phương trình 26x + 20y ≥ 46 nếu 26x0 + 20y0 ≥ 46.

+ Chọn x0 = 1, y0 = 1, ta có: 26 . 1 + 20 . 1 = 46 

+ Chọn x0 = 2, y0 = 1, ta có: 26 . 2 + 20 . 1 = 72 > 46

+ Chọn x0 = 1, y0 = 2, ta có: 26 . 1 + 20 . 2 = 66 > 46

Vậy ba cặp số (1; 1), (2; 1), (1; 2) là ba nghiệm của bất phương trình 26x + 20y ≥ 46.

*Phương pháp giải

 - Gọi ẩnlần lượt cho lượng protein cần thiết cung cấp của thịt bò và cá rô phi ( điều kiện ẩn và đơn vị )

- lập phương trình cho ẩn vừa mới gọi theo dữ kiên bài toán 

- thay 3 giá trị bất kì vào và đối chiếu xem có thỏa mãn hay không

*Lý thuyết cần nắm và các dạng bài toán về bất phương trình bậc nhất 2 ẩn:

• Bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y là bất phương trình có một trong các dạng sau:

ax + by < c;          ax + by > c

ax + by ≤ c;           ax + by ≥ c

trong đó:    

x, y là các ẩn,

a, b, c là các số thực cho trước với a, b không đồng thời bằng 0.

• Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn:

Bước 1. Vẽ đường thẳng d: ax + by = c. Đường thẳng d chia mặt phẳng toạ độ thành hai nửa mặt phẳng.

Bước 2. Lấy một điểm M(x₀; y₀) không nằm trên d (thường lấy gốc toạ độ O nếu c ≠ 0). Tính ax₀ + by₀ và so sánh với c.

Bước 3. Kết luận:

+)  Nếu ax₀ + by₀ < c thì nửa mặt phẳng chứa điểm M (không kể d) là miền nghiệm của bất phương trình ax + by < c.

+) Nếu ax₀ + by₀ > c thì nửa mặt phẳng chứa điểm M (không kể d) là miền nghiệm của bất phương trình ax + by > c.

Một số phép biến đổi bất phương trình:

- Hai bất phương trình tương đương là hai bất phương trình có cùng tập nghiệm (có thể rỗng). Ta dùng kí hiệu “$\iff$” để chỉ sự tương đương của hai bất phương trình đó.

- Một số phép biến đổi tương đương:

Gọi D là điều kiện xác định của bất phương trình P(x) < Q(x); f(x) là biểu thức xác định với $\forall x\in D$ thì:

+) P(x) < Q(x)$\iff$P(x) + f(x) < Q(x) + f(x)

Nhận xét: P(x) < Q(x) + f(x)$\iff$P(x) − f(x) < Q(x)

+) P(x) < Q(x)$\iff$ P(x).f(x) < Q(x).f(x) nếu f(x) > 0,$\forall x$

P(x) < Q(x)$\iff$ P(x).f(x) > Q(x).f(x) nếu f(x) < 0,$\forall x$

+) P(x) < Q(x) $\iff P^2\left(x\right)<Q^2\left(x\right)$ nếu $P\left(x\right)\ge 0,Q\left(x\right)\ge 0,\forall x.$

 Các dạng toán

Dạng 1: Giải và biện luận bất phương trình bậc nhất

Phương pháp giải:

- Bất phương trình bậc nhất là bất phương trình có dạng:$ax+b>0,ax+b<0,$ $ax+b\ge 0,ax+b\le 0$ với $a,b\in ℝ.$

- Giải và biện luận bất phương trình dạng: $ax+b>0$ (1).

+) Nếu $a>0$ thì $\left(1\right)\iff ax>-b\iff x>-\frac{b}{a}$

$\Rightarrow$Tập nghiệm của bất phương trình là $S=\left(-\frac{b}{a};+\infty \right)\cdot$

+) Nếu $a<0$ thì $\left(1\right)\iff ax>-b\iff x<-\frac{b}{a}$

$\Rightarrow$Tập nghiệm của bất phương trình là $S=\left(-\infty ;-\frac{b}{a}\right)\cdot$

+) Nếu a=0 thì $\left(1\right)\iff 0.x>-b.$ Khi đó, ta xét:

Với $-b\ge 0\Rightarrow$ Tập nghiệm của bất phương trình là $S=\varnothing$

Với $-b<0\Rightarrow$ Tập nghiệm của bất phương trình là $S=ℝ$

Lưu ý: Ta giải tương tự với $ax+b<0,ax+b\le 0,ax+b\ge 0.$

Dạng 2: Dấu của nhị thức bậc nhất

 Phương pháp giải:

- Nhị thức bậc nhất đối với x là biểu thức dạng f(x) = ax + b trong đó a, b là hai số đã cho, $a\ne 0$.

- Định lý về dấu của nhị thức bậc nhất: Nhị thức f(x) = ax + b ($a\ne 0$) cùng dấu với hệ số a khi x lấy các giá trị trong khoảng $\left(-\frac{b}{a},+\infty \right)$ và trái dấu với hệ số a khi x lấy các giá trị trong khoảng $\left(-\infty ,-\frac{b}{a}\right)$.

Ta có bảng xét dấu của nhị thức f(x) = ax + b ($a\ne 0$) như sau:

Minh họa bằng đồ thị

- Áp dụng vào giải phương trình:

Giải bất phương trình f(x) > 0 thực chất là xét xem biểu thức f(x) nhận giá trị dương với những giá trị nào của x (do đó cũng biết f(x) nhận giá trị âm với những giá trị nào của x), làm như vậy ta nói đã xét dấu biểu thức f(x).

Ta vận dụng định lý dấu của nhị thức bậc nhất để xét dấu f(x).

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Lý thuyết Bất phương trình bậc nhất hai ẩn – Toán 10 Cánh diều

Giải Toán 10 Bài 1 (Cánh diều): Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Trắc nghiệm Bất phương trình bậc nhất hai ẩn (có đáp án)