Để tìm hiểu về câu hỏi này, chúng ta cùng theo dõi hoạt động 1 trang 20.

Quan sát bài toán mở đầu, ta thấy số lượng đường nhập về và lượng đường cần để làm cho mỗi chiếc bánh chưa đưa về cùng đơn vị, do đó ta cần đổi đơn vị đo khối lượng.

Đổi: 60 g = 0,06 kg; 50 g = 0,05 kg.

Làm một chiếc bánh nướng cần 0,06 kg đường, vậy làm x chiếc bánh nướng cần 0,06x (kg đường).

Làm một chiếc bánh dẻo cần 0,05 kg đường, vậy làm y chiếc bánh dẻo cần 0,05y (kg đường).

Tổng số đường để làm số bánh nướng và bánh dẻo mà công ti dự định sản xuất là:

0,06x + 0,05y (kg đường)

Vì doanh nghiệp nhập về 500 kg đường, nên tổng số đường cần để làm các loại bánh theo dự định phải không quá 500 kg.

Vậy điều kiện ràng buộc đối với x và y là: 0,06x + 0,05y ≤ 500.

+ Bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y là bất phương trình có một trong các dạng sau:

ax + by < c; ax + by > c; ax + by ≤ c; ax +by ≥ c,

trong đó a, b, c là những số cho trước với a, b không đồng thời bằng 0, x và y là các ẩn.

Do đó trong hai bất phương trình đã cho, chỉ có bất phương trình a) 5x + 3y < 20 là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

 + Để chỉ ra nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn trên, ta chỉ cần chọn cặp số (x0; y0) thỏa mãn 5x0 + 3y0 < 20.

Chẳng hạn, chọn x0 = 1, y0 = 1, ta có: 5 . 1 + 3 . 1 = 8 < 20

Vậy (1; 1) là một nghiệm của của bất phương trình bậc nhất hai ẩn 5x + 3y < 20.

Để xác định điểm M(x; y) trong mặt phẳng tọa độ thỏa mãn điều kiện đã cho, ta làm như sau:

a) Đường thẳng x = 0 chính là trục tung.

Đường thẳng x = 0 chia mặt phẳng thành 2 nửa: nửa mặt phẳng bên trái và nửa mặt phẳng bên phải trục tung.

Một điểm có hoành độ dương thì nằm ở nửa mặt phẳng bên phải trục tung và ngược lại. Vì thế, miền nghiệm của bất phương trình (1) là nửa mặt phẳng bên phải trục tung, được mô tả bằng nửa mặt phẳng không bị gạch ở Hình 1 (không kể trục tung).

b) Vẽ đường thẳng y = 1.

Đường thẳng d: y = 1 chia mặt phẳng thành hai nửa: nửa mặt phẳng bên trên và nửa mặt phẳng bên dưới đường thẳng d (không kể đường thẳng d).

Một điểm có tung độ nhỏ hơn 1 thì nằm ở nửa mặt phẳng bên dưới đường thẳng d và ngược lại. Vì thế, miền nghiệm của bất phương trình (2) là nửa mặt phẳng bên dưới đường thẳng d, được mô tả bằng nửa mặt phẳng không bị gạch ở Hình 2.

a) Đường thẳng d: y = 2x – 2

Cho x = 0 thì y = – 2

Cho y = 0 thì x = 1

Do đó, đường thẳng d đi qua hai điểm (0; – 2) và (1; 0). Ta vẽ đường thẳng d như sau:

b) Xét điểm M(2; – 1).

Thay x = 2 và y = – 1 vào bất phương trình (3) ta được: 2 . 2 – (– 1) > 2 ⇔ 5 > 2 (luôn đúng).

Vậy (2; – 1) là nghiệm của bất phương trình (3).

c) Ta vẽ như hình dưới:

Miềm nghiệm của bất phương trình (3) là nửa mặt phẳng không bị gạch trong hình trên.

a) x – 2y < 4

+ Vẽ đường thẳng d: x – 2y = 4

Cho x = 0 thì y = – 2, cho y = 0 thì x = 4. Đường thẳng d đi qua 2 điểm (0; – 2) và (4; 0).

+ Lấy điểm O(0; 0). Ta có: 0 – 0 = 0 < 4.

Vậy miền nghiệm của bất phương trình x – 2y < 4 là nửa mặt phẳng không bị gạch ở hình trên chứa điểm O(0; 0) không kể đường thẳng d.

b) x + 3y ≤ 6

+ Vẽ đường thẳng d: x + 3y = 6

Cho x = 0 thì y = 2, cho y = 0 thì x = 6, do đó đường thẳng d đi qua hai điểm (0; 2) và (6; 0).

+ Lấy điểm O(0; 0). Ta có: 0 + 3.0 = 0 < 6.

Vậy miền nghiệm của bất phương trình x + 3y ≤ 6 là nửa mặt phẳng không bị gạch ở hình trên chứa điểm O(0; 0) kể cả đường thẳng d.

Ta có: 2x – 3y < 3 (1).

a) Thay x = 0, y = – 1 vào bất phương trình (1) ta được: 2 . 0 – 3 . (– 1) < 3

⇔ 3 < 3 (vô lí)

Vậy cặp số (0; – 1) không phải là nghiệm của bất phương trình đã cho.

b) Tương tự ta có: 2 . 2 – 3 . 1 = 4 – 3 = 1 < 3 (luôn đúng)

Vậy cặp số (2; 1) là một nghiệm của bất phương trình đã cho.

c) Ta có: 2 . 3 – 3 . 1 = 6 – 3 = 3 < 3 (vô lí).

Vậy cặp số (3; 1) không phải là nghiệm của bất phương trình đã cho.

a) x + 2y < 3

+ Vẽ đường thẳng d: x + 2y = 3.

+ Lấy điểm O(0; 0). Ta có: 0 + 2.0 = 0 < 3.

Vậy miền nghiệm của bất phương trình x + 2y < 3 là nửa mặt phẳng không bị gạch ở hình trên chứa điểm O(0; 0) không kể đường thẳng d.

b) 3x – 4y ≥ – 3

+ Vẽ đường thẳng d: 3x – 4y = – 3.

+ Lấy điểm O(0; 0). Ta có: 3 . 0 – 4 . 0 = 0 > – 3.

Vậy miền nghiệm của bất phương trình 3x – 4y ≥ – 3 là nửa mặt phẳng không bị gạch ở hình trên chứa điểm O(0; 0) kể cả đường thẳng d.

c) y ≥ – 2x + 4

⇔ 2x + y ≥ 4

+ Vẽ đường thẳng d: 2x + y = 4.

+ Lấy điểm O(0; 0). Ta có: 2 . 0 + 0 = 0 < 4.

Vậy miền nghiệm của bất phương trình 2x + y ≥ 4 hay chính là y ≥ – 2x + 4 là nửa mặt phẳng không bị gạch ở hình trên không chứa điểm O(0; 0) kể cả đường thẳng d.

d) y < 1 – 2x

⇔ 2x + y < 1

+ Vẽ đường thẳng d: 2x + y = 1.

+ Lấy O(0; 0). Ta có: 2 . 0 + 0 = 0 < 1.

Vậy miền nghiệm của bất phương trình 2x + y < 1 hay chính là y < 1 – 2x là nửa mặt phẳng không bị gạch ở hình trên chứa điểm O(0; 0) không kể đường thẳng d.

a) Giả sử đường thẳng d: y = ax + b (1) (a ≠ 0)

Quan sát Hình 7a, ta thấy đường thẳng d đi qua hai điểm (0; – 2) và (2; 0).

Thay x = 0, y = – 2 vào (1) ta được: – 2 = b hay b = – 2

Thay x = 2, y = 0 vào (1) ta được: 0 = 2a + b

Suy ra 2a = – b = 2 ⇒ a = 1 (t/m).

Khi đó đường thẳng d: y = x – 2 ⇔ x – y = 2

Xét điểm O(0; 0), ta có: 0 – 0 = 0 < 2

Lại có trên Hình 7a điểm O(0; 0) thuộc phần gạch sọc.

Vậy phần không gạch (không kể d) là miền nghiệm của bất phương trình x – y > 2.

b) Giả sử đường thẳng d: y = ax + b (2) (a ≠ 0)

Quan sát Hình 7b, ta thấy đường thẳng d đi qua 2 điểm (0; 1) và (2; 0).

Thay x = 0, y = 1 vào (2), ta được: b = 1

Thay x = 2, y = 0 vào (2), ta được: 2a + b = 0

Suy ra 2a + 1 = 0 ⇔ a =$-\frac{1}{2}$  (t/m)

Khi đó đường thẳng d: y = $-\frac{1}{2}x$  + 1 ⇔ x + 2y = 2

Xét điểm O(0; 0). Ta có: 0 + 0 = 0 < 2.

Lại có trên Hình 7b điểm O(0; 0) thuộc phần gạch sọc.

Vậy phần không gạch sọc (không kể d) là miền nghiệm của bất phương trình x + 2y > 2.

c) Quan sát Hình 7c, ta thấy đường thẳng d đi qua gốc tọa độ và đi qua điểm M(1; 1).

Do đó phương trình đường thẳng d có dạng: y = ax (a ≠ 0)

Vì d đi qua M nên thay x = 1, y = 1 vào y = ax, ta được: a = 1 (t/m)

Do đó đường thẳng d: y = x ⇔ x – y = 0

Xét điểm (1; 0). Ta có: 1 – 0 = 1 > 0.

Lại có trên Hình 7c điểm (1; 0) nằm trên phần gạch sọc.

Vậy phần không gạch sọc (không kể d) là miền nghiệm của bất phương trình x – y < 0.

a) Điều kiện:$x\in \mathbb{N},y\in \mathbb{N}$

Vì diện tích mặt sàn dành cho lưu thông tối thiểu là 12 m², do đó diện tích phần mặt sàn để kê bàn và ghế tối đa là: 60 – 12 = 48 (m²).

Diện tích để kê một chiếc ghế là 0,5 m², nên diện tích để kê x chiếc ghế là 0,5x (m²).

Diện tích để kê một chiếc bàn là 1,2 m², nên diện tích để kê y chiếc bàn là 1,2y (m²).

Tổng diện tích cho phần mặt sàn để kê x chiếc ghế và y chiếc bàn là: 0,5x + 1,2y (m²).

Do đó, bất phương trình cần tìm là: 0,5x + 1,2y ≤ 48.

b) Cặp số (x₀; y₀) là nghiệm của bất phương trình 0,5x + 1,2y ≤ 48 nếu 0,5x₀ + 1,2y₀ ≤ 48. (chú ý x₀ và y₀ ­là các số tự nhiên, do đây là số chiếc bàn và ghế)

+ Chọn x₀ = 2, y₀ =  5, ta có: 0,5 . 2 + 1,2 . 5 = 1 + 6 = 7 < 48.

+ Chọn x₀ = 4, y₀ = 10, ta có: 0,5 . 4 + 1,2 . 10 = 2 + 12 = 14 < 48.

+ Chọn x₀ = 6, y_0­ = 20, ta có: 0,5 . 6 + 1,2 . 20 = 3 + 24 = 27 < 48.

Vậy ba cặp số (2; 5), (4; 10), (6; 20) là ba nghiệm của bất phương trình 0,5x + 1,2y ≤ 48.

 Chú ý: Bất phương trình bậc nhất hai ẩn có vô số nghiệm, nên có thể chọn cặp số tùy ý thỏa mãn.

*Lời giải

Trong 1 lạng thịt bò chứa khoảng 26 g protein nên trong x lạng thịt bò chứa khoảng 26x (g protein).

Trong 1 lạng cá rô phi chứa khoảng 20 g protein nên trong y lạng cá rô phi chứa khoảng 20y (g protein).

Tổng số lượng protein mà một người phụ nữ nên ăn trong một ngày là: 26x + 20y (g protein).

Trung bình mỗi ngày, một người phụ nữ cần tối thiểu 46 g protein.

Do đó, bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y để biểu diễn lượng protein cần thiết cgo một người phụ nữ trong một ngày là: 26x + 20y ≥ 46.

Cặp số (x0; y0) là nghiệm của bất phương trình 26x + 20y ≥ 46 nếu 26x0 + 20y0 ≥ 46.

+ Chọn x0 = 1, y0 = 1, ta có: 26 . 1 + 20 . 1 = 46 

+ Chọn x0 = 2, y0 = 1, ta có: 26 . 2 + 20 . 1 = 72 > 46

+ Chọn x0 = 1, y0 = 2, ta có: 26 . 1 + 20 . 2 = 66 > 46

Vậy ba cặp số (1; 1), (2; 1), (1; 2) là ba nghiệm của bất phương trình 26x + 20y ≥ 46.

*Phương pháp giải

 - Gọi ẩnlần lượt cho lượng protein cần thiết cung cấp của thịt bò và cá rô phi ( điều kiện ẩn và đơn vị )

- lập phương trình cho ẩn vừa mới gọi theo dữ kiên bài toán 

- thay 3 giá trị bất kì vào và đối chiếu xem có thỏa mãn hay không

*Lý thuyết cần nắm và các dạng bài toán về bất phương trình bậc nhất 2 ẩn:

• Bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y là bất phương trình có một trong các dạng sau:

ax + by < c;          ax + by > c

ax + by ≤ c;           ax + by ≥ c

trong đó:    

x, y là các ẩn,

a, b, c là các số thực cho trước với a, b không đồng thời bằng 0.

• Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn:

Bước 1. Vẽ đường thẳng d: ax + by = c. Đường thẳng d chia mặt phẳng toạ độ thành hai nửa mặt phẳng.

Bước 2. Lấy một điểm M(x₀; y₀) không nằm trên d (thường lấy gốc toạ độ O nếu c ≠ 0). Tính ax₀ + by₀ và so sánh với c.

Bước 3. Kết luận:

+)  Nếu ax₀ + by₀ < c thì nửa mặt phẳng chứa điểm M (không kể d) là miền nghiệm của bất phương trình ax + by < c.

+) Nếu ax₀ + by₀ > c thì nửa mặt phẳng chứa điểm M (không kể d) là miền nghiệm của bất phương trình ax + by > c.

Một số phép biến đổi bất phương trình:

- Hai bất phương trình tương đương là hai bất phương trình có cùng tập nghiệm (có thể rỗng). Ta dùng kí hiệu “$\iff$” để chỉ sự tương đương của hai bất phương trình đó.

- Một số phép biến đổi tương đương:

Gọi D là điều kiện xác định của bất phương trình P(x) < Q(x); f(x) là biểu thức xác định với $\forall x\in D$ thì:

+) P(x) < Q(x)$\iff$P(x) + f(x) < Q(x) + f(x)

Nhận xét: P(x) < Q(x) + f(x)$\iff$P(x) − f(x) < Q(x)

+) P(x) < Q(x)$\iff$ P(x).f(x) < Q(x).f(x) nếu f(x) > 0,$\forall x$

P(x) < Q(x)$\iff$ P(x).f(x) > Q(x).f(x) nếu f(x) < 0,$\forall x$

+) P(x) < Q(x) $\iff P^2\left(x\right)<Q^2\left(x\right)$ nếu $P\left(x\right)\ge 0,Q\left(x\right)\ge 0,\forall x.$

 Các dạng toán

Dạng 1: Giải và biện luận bất phương trình bậc nhất

Phương pháp giải:

- Bất phương trình bậc nhất là bất phương trình có dạng:$ax+b>0,ax+b<0,$ $ax+b\ge 0,ax+b\le 0$ với $a,b\in ℝ.$

- Giải và biện luận bất phương trình dạng: $ax+b>0$ (1).

+) Nếu $a>0$ thì $\left(1\right)\iff ax>-b\iff x>-\frac{b}{a}$

$\Rightarrow$Tập nghiệm của bất phương trình là $S=\left(-\frac{b}{a};+\infty \right)\cdot$

+) Nếu $a<0$ thì $\left(1\right)\iff ax>-b\iff x<-\frac{b}{a}$

$\Rightarrow$Tập nghiệm của bất phương trình là $S=\left(-\infty ;-\frac{b}{a}\right)\cdot$

+) Nếu a=0 thì $\left(1\right)\iff 0.x>-b.$ Khi đó, ta xét:

Với $-b\ge 0\Rightarrow$ Tập nghiệm của bất phương trình là $S=\varnothing$

Với $-b<0\Rightarrow$ Tập nghiệm của bất phương trình là $S=ℝ$

Lưu ý: Ta giải tương tự với $ax+b<0,ax+b\le 0,ax+b\ge 0.$

Dạng 2: Dấu của nhị thức bậc nhất

 Phương pháp giải:

- Nhị thức bậc nhất đối với x là biểu thức dạng f(x) = ax + b trong đó a, b là hai số đã cho, $a\ne 0$.

- Định lý về dấu của nhị thức bậc nhất: Nhị thức f(x) = ax + b ($a\ne 0$) cùng dấu với hệ số a khi x lấy các giá trị trong khoảng $\left(-\frac{b}{a},+\infty \right)$ và trái dấu với hệ số a khi x lấy các giá trị trong khoảng $\left(-\infty ,-\frac{b}{a}\right)$.

Ta có bảng xét dấu của nhị thức f(x) = ax + b ($a\ne 0$) như sau:

Minh họa bằng đồ thị

- Áp dụng vào giải phương trình:

Giải bất phương trình f(x) > 0 thực chất là xét xem biểu thức f(x) nhận giá trị dương với những giá trị nào của x (do đó cũng biết f(x) nhận giá trị âm với những giá trị nào của x), làm như vậy ta nói đã xét dấu biểu thức f(x).

Ta vận dụng định lý dấu của nhị thức bậc nhất để xét dấu f(x).

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Lý thuyết Bất phương trình bậc nhất hai ẩn – Toán 10 Cánh diều

Giải Toán 10 Bài 1 (Cánh diều): Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Trắc nghiệm Bất phương trình bậc nhất hai ẩn (có đáp án)