Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình lập phương có cạnh bằng a

Cho hình lập phương ABCD.A₁B₁C₁D₁ có cạnh bằng 1. Hai điểm M, N lần lượt thay đổi trên các đoạn AB₁ và BC₁ sao cho MN luôn tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc 60° (tham khảo hình vẽ). Giá trị bé nhất của đoạn MN là

Tính T = a-3b biết hàm số y=f(x) liên tục và có đạo hàm trên R thỏa mãn $3f^2\left(x\right).f^{\text{'}}\left(x\right)-4x{e}^{-f^3\left(x\right)+2x^2+x+1}=1=f\left(0\right)$. Biết rằng $I=\underset{0}{\overset{\frac{-1+\sqrt{4089}}{4}}{\int }}\left(4x+1\right)f\left(x\right)dx=\frac{a}{b}$ là phân số tối giản.

Cho hàm số y = ax⁴+bx²+c (a≠0) có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây đúng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B; AB=BC=1, AD=2. Các mặt chéo (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt đáy (ABCD). Biết góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) bằng 60° (tham khảo hình vẽ bên). Khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SAB) là

Cho hàm số $f\left(x\right)=x^3-x^2+x-m-2$ (m là tham số thực). Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của m sao cho $\underset{\left[0;3\right]}{\max }\left|f\left(x\right)\right|+\underset{\left[0;3\right]}{\min }\left|f\left(x\right)\right|=16$. Tổng các phần tử của S là

Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ bên

Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng nào dưới đây

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [2;3] và $\underset{2}{\overset{3}{\int }}\left(x-2\right)f^{\text{'}}\left(x\right)dx=a$, $f\left(3\right)=b$. Tìm tích phân $\underset{2}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)dx$ theo a và b.

Cho a = log3, b = ln3. Mệnh đề nào sau đây đúng

Cho hàm số f(x) = ln(x²-4x+8). Số nghiệm nguyên dương của bất phương trình $f^{\text{'}}\left(x\right)\le 0$ là số nào sau đây.

Cho khối tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD (tham khảo hình vẽ bên). Đặt V là thể tích của khối tứ diện ABCD, V₁ là thể tích của khối tứ diện MNBC. Khẳng định nào sau đây đúng?

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai liên tục trên R. Biết $f^{\text{'}}\left(-2\right)=-8,f^{\text{'}}\left(1\right)=4$ và đồ thị hàm số f”(x) như hình vẽ dưới đây. Hàm số $y=2f\left(x-3\right)+16x+1$ đạt giá trị lớn nhất tại x₀ thuộc khoảng nào sau đây?

Cho f(x), g(x) là các hàm số có đạo hàm liên tục trên R, số $k\in ℝ$ và C là một hằng số tùy ý. Xét 4 mệnh đề sau

(I): ${\left(\int f\left(x\right)dx\right)}^{\text{'}}=f\left(x\right)$

(II): $\int kf\left(x\right)dx=k\int f\left(x\right)dx$

(III): $\int \left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]dx=\int f\left(x\right)dx+\int g\left(x\right)dx$

(IV): $\int x^{2}dx=\frac{x^3}{3}+C$

Số mệnh đề đúng là

Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB=a, BC=2a, A’B vuông góc với mặt phẳng (ABC) và góc giữa A’C và mặt phẳng (ABC) bằng 30° (tham khảo hình vẽ bên). Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’.

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên R và $f^{\text{'}}\left(x\right)>0,\forall x\in ℝ$, biết f(3)=1. Chọn mệnh đề đúng

Cho hình lục giác đều ABCDEF có cạnh bằng 2 (tham khảo hình vẽ). Quay lục giác xung quanh đường chéo AD ta được một khối tròn xoay. Thể tích khối tròn xoay đó là