Câu hỏi:
19/08/2026 39Tính các giới hạn sau:
(a) \[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\sqrt {{n^2} + 3n} - n} \right)\];
(b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{\sqrt {4x + 5} - 2x - 3}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\).
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) \[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\sqrt {{n^2} + 3n} - n} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\left( {{n^2} + 3n} \right) - {n^2}}}{{\sqrt {{n^2} + 3n} + n}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{3n}}{{\sqrt {{n^2} + 3n} + n}}\]
\[ = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{3n}}{{n\sqrt {1 + \frac{3}{n}} + n}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{3}{{\sqrt {1 + \frac{3}{n}} + 1}} = \frac{3}{2}.\]
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{\sqrt {4x + 5} - 2x - 3}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{\left( {\sqrt {4x + 5} - 2x - 3} \right)\left( {\sqrt {4x + 5} + 2x + 3} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}\left( {\sqrt {4x + 5} + 2x + 3} \right)}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{4x + 5 - {{\left( {2x + 3} \right)}^2}}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}\left( {\sqrt {4x + 5} + 2x + 3} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{ - 4{x^2} - 8x - 4}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}\left( {\sqrt {4x + 5} + 2x + 3} \right)}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{ - 4\left( {{x^2} + 2x + 1} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}\left( {\sqrt {4x + 5} + 2x + 3} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{ - 4{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}\left( {\sqrt {4x + 5} + 2x + 3} \right)}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{ - 4}}{{\sqrt {4x + 5} + 2x + 3}} = \frac{{ - 4}}{{\sqrt {4.\left( { - 1} \right) + 5} + 2.\left( { - 1} \right) + 3}} = - 2\).
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Trong các dãy số \[\left( {{u_n}} \right)\] sau đây, dãy số nào là dãy số bị chặn?
Câu 2:
Cho các dãy số \(\left( {{u_n}} \right),\,\,\left( {{v_n}} \right)\) và \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = a,\,\,\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n} = b\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n} + {v_n}} \right)\) bằng
Câu 3:
Cho \(\cos \alpha = \frac{1}{3}\). Khi đó \(\sin \left( {\alpha - \frac{{3\pi }}{2}} \right)\) bằng
Câu 4:
Cho tứ diện \(ABCD.\) Gọi \(H\) là một điểm nằm trong tam giác \(ABC,\) \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng đi qua \(H\) song song với \(AB\) và \(CD.\) Mệnh đề nào sau đây đúng về thiết diện của \(\left( \alpha \right)\) với tứ diện?
Câu 5:
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) với công sai \(d\), khẳng định nào sau đây đúng?
Câu 6:
Cho mặt phẳng \(\left( P \right)\) và đường thẳng \(d \subset \left( P \right)\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
Câu 8:
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình bình hành. Hình chiếu song song của điểm \(A\) theo phương \(AB\) lên mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) là điểm nào sau đây?
Câu 9:
Một cấp số nhân có hai số hạng liên tiếp là 16 và 36. Số hạng tiếp theo là
Câu 10:
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có \(d = - 2\;\) và \({S_8} = 72.\) Tìm số hạng đầu tiên \({u_1}.\)
Câu 11:
Trong không gian, cho hai đường thẳng \(a\) và \(b\). Số vị trí tương đối giữa hai đường thẳng \(a\) và \(b\) là
Câu 12:
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình bình hành tâm \(O.\) Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(SA,\,\,CD.\)
(a) Chứng minh \(\left( {OMN} \right){\rm{//}}\left( {SBC} \right).\)
(b) Gọi \(I\) là trung điểm của \(SD,\,\,J\) là một điểm trên \(\left( {ABCD} \right)\) và cách đều \(AB,\,\,CD.\) Chứng minh \(IJ{\rm{//}}\left( {SAB} \right).\)
Câu 13:
Với giá trị nào của \(m\) dưới đây thì phương trình \(\sin x = m\) vô nghiệm?
Câu 15:
Cho đường thẳng \(d\) song song với mặt phẳng \[\left( \alpha \right).\] Có bao nhiêu mặt phẳng đi qua \(d\) và song song với \(\left( \alpha \right)\)?
