Câu hỏi:
19/08/2026 44Một thợ thủ công muốn vẽ trang trí một hình vuông kích thước 4 m × 4 m bằng cách vẽ một hình vuông mới với các đỉnh là trung điểm các cạnh của hình vuông ban đầu và tô kín màu lên hai tam giác đối diện (như hình vẽ dưới đây). Quá trình vẽ và tô theo quy luật đó được lặp lại 10 lần. Tính số tiền nước sơn để người thợ đó hoàn thành trang trí hình vuông trên? Biết tiền nước sơn 1 m2 là 80 000 đồng.
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Theo quy luật trang trí một hình vuông trên thì ta có các tam giác được tô màu sẽ là tam giác vuông cân.
Gọi \({u_n}\) là diện tích của hai tam giác được tô màu sau lần vẽ thứ \(n\), với \(n \in {\mathbb{N}^*}.\)
Độ dài cạnh góc vuông của hai tam giác vuông cân được tô màu theo lần vẽ đầu tiên là \(\frac{4}{2} = 2\,\,\left( {\rm{m}} \right).\) Khi đó diện tích của hai tam giác được tô màu sau lần vẽ đầu tiên là
\({u_1} = 2\left( {\frac{1}{2}.2.2} \right) = 4\) \(\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right){\rm{.}}\)
Độ dài cạnh góc vuông của hai tam giác vuông cân được tô màu theo lần vẽ thứ hai là \(\frac{1}{2}.\sqrt {{2^2} + {2^2}} \, = \sqrt 2 \left( {\rm{m}} \right).\) Khi đó diện tích của hai tam giác được tô màu sau lần vẽ thứ hai là
\({u_2} = 2\left( {\frac{1}{2}.\sqrt 2 .\sqrt 2 } \right) = 4.\frac{1}{2}\) \(\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right){\rm{.}}\)
Độ dài cạnh góc vuông của hai tam giác vuông cân được tô màu theo lần vẽ thứ ba là\(\frac{1}{2}.\sqrt {{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}} = 1\,\,\left( {\rm{m}} \right){\rm{.}}\) Khi đó diện tích của hai tam giác được tô màu sau lần vẽ thứ ba là
\({u_3} = 2\left( {\frac{1}{2}.1.1} \right) = 4.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^2}\) \(\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right){\rm{.}}\)
Khi đó, dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là một cấp số nhân với số hạng đầu \({u_1} = 4\) và công bội \(q = \frac{1}{2}.\)
Ta có công thức số hạng tổng quát \({u_n} = 4.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{n - 1}}\) \(\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right){\rm{.}}\)
Tổng diện tích của các tam giác được tô màu sau lần vẽ thứ 10 là:
\({S_{10}} = \frac{{4\left[ {1 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{10}}} \right]}}{{1 - \frac{1}{2}}} = \frac{{1\,\,023}}{{128}}\) \(\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right){\rm{.}}\)
Vậy số tiền nước sơn là \(\frac{{1\,\,023}}{{128}}.80\,\,000 = 639\,\,375\) đồng.
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) với công sai \(d\), khẳng định nào sau đây đúng?
Câu 2:
Cho tứ diện \(ABCD.\) Gọi \(H\) là một điểm nằm trong tam giác \(ABC,\) \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng đi qua \(H\) song song với \(AB\) và \(CD.\) Mệnh đề nào sau đây đúng về thiết diện của \(\left( \alpha \right)\) với tứ diện?
Câu 3:
Trong các dãy số \[\left( {{u_n}} \right)\] sau đây, dãy số nào là dãy số bị chặn?
Câu 4:
Cho \(\cos \alpha = \frac{1}{3}\). Khi đó \(\sin \left( {\alpha - \frac{{3\pi }}{2}} \right)\) bằng
Câu 5:
Cho các dãy số \(\left( {{u_n}} \right),\,\,\left( {{v_n}} \right)\) và \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = a,\,\,\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n} = b\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n} + {v_n}} \right)\) bằng
Câu 6:
Tính các giới hạn sau:
(a) \[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\sqrt {{n^2} + 3n} - n} \right)\];
(b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{\sqrt {4x + 5} - 2x - 3}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\).
Câu 7:
Một cấp số nhân có hai số hạng liên tiếp là 16 và 36. Số hạng tiếp theo là
Câu 8:
Trong không gian, cho hai đường thẳng \(a\) và \(b\). Số vị trí tương đối giữa hai đường thẳng \(a\) và \(b\) là
Câu 9:
Cho đường thẳng \(d\) song song với mặt phẳng \[\left( \alpha \right).\] Có bao nhiêu mặt phẳng đi qua \(d\) và song song với \(\left( \alpha \right)\)?
Câu 10:
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình bình hành. Hình chiếu song song của điểm \(A\) theo phương \(AB\) lên mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) là điểm nào sau đây?
Câu 13:
Số đo ba góc của một tam giác cân là bao nhiêu khi biết số đo của một góc là nghiệm của phương trình \(\cos 2x = - \frac{1}{2}\)?
