Câu hỏi:
18/07/2024 154
Tìm hệ số của x5 trong khai triển (1 + x + x2 + x3)5.
A. 50;
B. 100;
C. 101;
D. 200.
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
\[{\left( {1 + x + {x^2} + {x^3}} \right)^5} = {\left[ {\left( {1 + x} \right) + {x^2}\left( {1 + x} \right)} \right]^5} = {\left[ {\left( {1 + {x^2}} \right)\left( {1 + x} \right)} \right]^5}\]
Áp dụng khai triển nhị thức Newton ta có:
\({\left( {1 + {x^2}} \right)^5} = C_5^0{.1^5} + C_5^1{.1^4}.{\left( {{x^2}} \right)^1} + C_5^2{.1^3}.{\left( {{x^2}} \right)^2} + C_5^3{.1^2}.{\left( {{x^2}} \right)^3} + C_5^4.1.{\left( {{x^2}} \right)^4} + C_5^5.{\left( {{x^2}} \right)^5}\)
\({\left( {1 + x} \right)^5} = C_5^0{.1^5} + C_5^1{.1^4}.{x^1} + C_5^2{.1^3}.{x^2} + C_5^3{.1^2}.{x^3} + C_5^4.1.{x^4} + C_5^5.{x^5}\)
Xét \[{\left[ {\left( {1 + {x^2}} \right)\left( {1 + x} \right)} \right]^5}\] = \({\left( {1 + {x^2}} \right)^5}\).\({\left( {1 + x} \right)^5}\) để có x5 thì (x2)i.xj = x5 hay x2i + j = x5 với i; j là số tự nhiên và i; j bé hơn 5.
i
j
0
5
1
3
2
1
Khi đó, số hạng chứa x5 trong khai triển là:
\(C_5^0{.1^5}.C_5^5{x^5} + C_5^1{.1^4}.{x^2}.C_5^3{.1^2}.{x^3} + C_5^2{.1^3}.{x^4}.C_5^1{.1^4}.x\) = x5 + 50x5 + 50x5 = 101x5
Vậy hệ số của x5 trong khai triển là 101.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
\[{\left( {1 + x + {x^2} + {x^3}} \right)^5} = {\left[ {\left( {1 + x} \right) + {x^2}\left( {1 + x} \right)} \right]^5} = {\left[ {\left( {1 + {x^2}} \right)\left( {1 + x} \right)} \right]^5}\]
Áp dụng khai triển nhị thức Newton ta có:
\({\left( {1 + {x^2}} \right)^5} = C_5^0{.1^5} + C_5^1{.1^4}.{\left( {{x^2}} \right)^1} + C_5^2{.1^3}.{\left( {{x^2}} \right)^2} + C_5^3{.1^2}.{\left( {{x^2}} \right)^3} + C_5^4.1.{\left( {{x^2}} \right)^4} + C_5^5.{\left( {{x^2}} \right)^5}\)
\({\left( {1 + x} \right)^5} = C_5^0{.1^5} + C_5^1{.1^4}.{x^1} + C_5^2{.1^3}.{x^2} + C_5^3{.1^2}.{x^3} + C_5^4.1.{x^4} + C_5^5.{x^5}\)
Xét \[{\left[ {\left( {1 + {x^2}} \right)\left( {1 + x} \right)} \right]^5}\] = \({\left( {1 + {x^2}} \right)^5}\).\({\left( {1 + x} \right)^5}\) để có x5 thì (x2)i.xj = x5 hay x2i + j = x5 với i; j là số tự nhiên và i; j bé hơn 5.
|
i |
j |
|
0 |
5 |
|
1 |
3 |
|
2 |
1 |
Khi đó, số hạng chứa x5 trong khai triển là:
\(C_5^0{.1^5}.C_5^5{x^5} + C_5^1{.1^4}.{x^2}.C_5^3{.1^2}.{x^3} + C_5^2{.1^3}.{x^4}.C_5^1{.1^4}.x\) = x5 + 50x5 + 50x5 = 101x5
Vậy hệ số của x5 trong khai triển là 101.
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Gọi Tk là số hạng thứ k trong khai triển (x3 + 2y2)5 mà số mũ của x và y bằng nhau. Hệ số của Tk là:
Câu 2:
Cho n > 2 là số nguyên dương thỏa mãn \(3C_n^2 + 2A_n^2 = 3{n^2} - 5.\) Số hạng không chứa x trong khai triển \({\left( {2{x^3} - \frac{3}{{{x^2}}}} \right)^n},x \ne 0.\)
Câu 3:
Khai triển \({(\sqrt 3 - \sqrt[4]{5})^5}\). Tổng các số hạng hữu tỉ trong khai triển trên?
Câu 4:
Cho \({\left( {x\sqrt x + \frac{1}{{{x^4}}}} \right)^n}\)với x > 0 và \(C_n^2 - C_n^1 = 2\). Số hạng có số mũ thấp nhất của khai triển là:
