Câu hỏi:
16/11/2024 9,643Tìm điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y = x3 -3x2 -1?
A. (0;-2)
B. (0;1)
C. (5;-2)
D. (2;-5)
Trả lời:
Đáp án đúng: D.
*Lời giải
*Phương pháp giải:
Tính y'
Tìm nghiệm y' thay nghiệm vào y tìm CĐ CT
*Lý thuyết cần nắm và các dạng bài tập về cực trị hàm số:
- Định nghĩa.
Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên khoảng (a; b) (có thể a là ; b là ) và điểm x0(a; b).
a) Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) < f(x0) với mọi x(x0 – h; x0 + h) và thì ta nói hàm số f(x) đạt cực đại tại x0.
b) Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) > f(x0) với mọi x(x0 – h; x0 + h) và thì ta nói hàm số f(x) đạt cực tiểu tại x0.
Điều kiện đủ để hàm số có cực trị
- Định lí 1
Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng K = (x0 – h; x0 + h) và có đạo hàm trên K hoặc trên K \ {x0}; với h > 0.
a) Nếu f’(x) > 0 trên khoảng (x0 – h; x0) và f’(x) < 0 trên khoảng (x0; x0 + h) thì x0 là một điểm cực đại của hàm số f(x).
b) Nếu f’(x) < 0 trên khoảng (x0 – h; x0) và f’(x) > 0 trên khoảng (x0; x0 + h) thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số f(x).
Quy tắc tìm cực trị.
- Quy tắc 1.
1. Tìm tập xác định.
2. Tính f’(x). Tìm các điểm tại đó f’(x) bằng 0 hoặc f’(x) không xác định.
3. Lập bảng biến thiên.
4. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.
- Định lí 2.
Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai trong khoảng (x0 – h; x0 + h) với h > 0. Khi đó:
a) Nếu f’(x0) = 0; f”(x0) > 0 thì x0 là điểm cực tiểu;
b) Nếu f’(x0) = 0; f”(x0) < 0 thì x0 là điểm cực đại.
- Quy tắc II.
1. Tìm tập xác định
2. Tính f’(x). Giải phương trình f’(x) = 0 và kí hiệu xi ( i = 1; 2; ….; n) là các nghiệm của nó.
3. Tính f”(x) và f”(xi).
4. Dựa vào dấu của f”(xi) suy ra tính chất cực trị của điểm xi.
Kỹ năng giải nhanh các bài toán cực trị hàm số bậc ba ().
- Ta có
Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị khi phương trình y' = 0 có hai nghiệm phân biệt .
Và không có cực trị ⇔Δ’ = b2 − 3ac ≤ 0
- Cho hàm số có hai điểm cực trị phân biệt là A, B . Khi đó:
Phương trình đường thẳng AB : y = (c - )x + (d -)
Độ dài đoạn thẳng AB = với e =
Hoặc khi đó đường thẳng qua hai điểm cực trị liên quan tới: (CASIO hỗ trợ).
Kỹ năng giải nhanh các bài toán cực trị hàm trùng phương.
Cho hàm số: () có đồ thị là (C) .
Ta có
(C) có ba điểm cực trị y' = 0 có 3 nghiệm phân biệt hay ab < 0
Hàm số có 3 cực trị là:
.
Độ dài các đoạn thẳng:
CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.
Dạng 1. Tìm các điểm cực trị của hàm số.
Quy tắc 1: Áp dụng định lý 2
- Tìm f’(x)
- Tìm các điểm xi (i = 1, 2, 3,…) tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm
- Xét dấu của f’(x). Nếu f’(x) đổi dấu khi x qua điểm xo thì hàm số có cực trị tại điểm xo
Quy tắc 2: Áp dụng định lý 3
- Tìm f’(x)
- Tìm các nghiệm xi (i = 1, 2, 3,…) của phương trình f ‘(x) = 0
- Với mỗi xi tính f ”(xi)
- Nếu f ”(xi) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm xi
- Nếu f ”(xi) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm xi
Dạng 2: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị.
Sử dụng định lí 2 và định lí 3
a, Cực trị của hàm số bậc ba:
Cho hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d, a ≠ 0.
y’ = 0 ⇔ 3ax2 + 2bx + c = 0 (1) ; Δ’y’ = b2 – 3ac
- Phương trình (1) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép thì hàm số đã cho không có cực trị.
→ Hàm số bậc 3 không có cực trị ⇔ b2 – 3ac ≤ 0
- Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì hàm số đã cho có 2 cực trị.
→ Hàm số bậc 3 có 2 cực trị ⇔ b2 – 3ac > 0
b, Cực trị của hàm số bậc bốn trùng phương:
Cho hàm số: y = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0) có đồ thị là (C).
y' = 4ax3 + 2bx; y' = 0
⇔
- Nếu (C)có một điểm cực trị thì y' = 0 có 1 nghiệm x = 0 ⇔ -b/2a ≤ 0 ⇔ ab ≥ 0.
- Nếu (C)có ba điểm cực trị thì y' = 0 có 3 nghiệm phân biệt ⇔ -b/2a > 0 ⇔ ab < 0.
Chú ý
* Hàm số f (xác định trên D) có cực trị ⇔ ∃ xo ∈ D thỏa mãn hai điều kiện sau:
- Tại đạo hàm của hàm số tại xo phải bằng 0 hoặc hàm số không có đạo hàm tại xo
- f ‘(x) phải đổi dấu qua điểm xo hoặc f ”(xo) ≠ 0.
Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết
Lý thuyết Cực trị của hàm số (mới 2024 + Bài Tập) – Toán 12
Cực trị của hàm số và cách giải các dạng bài tập (2024) mới nhất
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 2:
Hàm số y = f(x) liên tục trên R và có bảng xét dấu đạo hàm như hình vẽ. Hỏi hàm số y = f(2x+1) có bao nhiêu điểm cực trị?
Câu 3:
Hàm số y=f(x) xác định, liên tục trên R\{0} và có bảng xét dấu đạo hàm như hình vẽ.
Hỏi hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?
Câu 4:
Hàm số y=f(x) liên tục trên R và có bảng biến thiên như hình vẽ. Hàm số y=f(-x+1) đạt cực đại tại điểm
Câu 5:
Đồ thị của hàm số y = -x3 + 3x +5 có hai điểm cực trị A và B. Tính diện tích S của tam giác OAB với O là gốc tọa độ.
Câu 6:
Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như sau
Mệnh đề nào dưới đây sai?
Câu 7:
Biết hàm số (C): có hai điểm cực trị là x1,x2. Đẳng thức nào sau đây đúng?
Câu 8:
Hàm số y=f(x) xác định, liên tục trên đoạn [2;4] và có bảng biến thiên như sau
Mệnh đề nào sau đây đúng?
Câu 9:
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) = x2019(x2020 - 1), . Hỏi hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?
Câu 11:
Hàm số y=f(x) liên tục trên và có bảng xét dấu đạo hàm như hình vẽ.
Số điểm cực trị của hàm số y = g(x) = f(x2+2x+3) là
Câu 12:
Hàm số y =f(x) liên tục trên và có bảng biến thiên như hình vẽ.
Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
Câu 13:
Hàm số y=f(x) liên tục trên R và có bảng xét dấu đạo hàm như hình vẽ.
Số điểm cực trị của hàm số y=g(x)=f(1-x2) là
Câu 15:
Hàm số y=f(x) xác định, liên tục trên R và có bảng xét dấu đạo hàm như hình vẽ.
Hàm số y = f(-x) có bao nhiêu điểm cực trị?