Tiếp tuyến tại điểm cực tiểu của đồ thị hàm số $y=\frac{1}{3}{x}^3-3x^2+5x-1$

Đáp án đúng: A

*Lời giải:

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=f(x) tại điểm có hoành độ $x=x_0$ là: $y=f\text{'}\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+y_0$

Gọi $x_0$ là điểm cực tiểu của hàm số đã cho, khi đó ta có $y\text{'}\left(x_0\right)=0$

Vậy tiếp tuyến của hàm số tại điểm cực tiểu có hệ số góc bằng 0, tức là song song với trục hoành.

*Phương pháp giải:

- áp dụng công thức phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số:

- Xác định tiếp điểm $M\left(x_0;f\left(x_0\right)\right)\text{}$

- Tính $f\text{'}\left(x_0\right)$

- Tiếp tuyến có dạng:

$\Delta :y=f\text{'}\left(x_0\right).\left(x-x_0\right)+f\left(x_0\right)$

*Lý thuyết và các dạng bài tập 

Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $\left(C\right):y=f\left(x\right)$ tại điểm $M\left(x_0;y_0\right)$ thuộc đồ thị hàm số.

Cho hàm số $\left(C\right):y=f\left(x\right)$ và điểm $M\left(x_0;y_0\right)\in \left(C\right)$. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại M.

Bước 1: Tính đạo hàm $y^{\prime }$. Tìm hệ số góc của tiếp tuyến là $y^{\prime }\left(x_0\right)$.

Bước 2: Phương trình tiếp tuyến tại điểm M là: $y=y^{\prime }\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+y_0$

Lưu ý:

- Nếu đề bài yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ $x_0$ thì khi đó ta tìm $y_0$ bằng cách thế vào hàm số ban đầu, tức $y_0=f\left(x_0\right).$ Nếu đề cho $y_0$ ta thay vào hàm số để giải ra $x_0$.

- Nếu đề bài yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến tại các giao điểm của đồ thị $\left(C\right):y=f\left(x\right)$và đường thẳng $d:y=ax+b.$ Khi đó các hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm giữa d và (C)

Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $\left(C\right):y=f\left(x\right)$ có hệ số góc k cho trước.

Bước 1: Gọi $\left(\Delta \right)$ là tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc k.

Bước 2: Giả sử $M\left(x_0;y_0\right)$ là tiếp điểm. Khi đó $x_0$ thỏa mãn: $y^{\prime }\left(x_0\right)=k$ (*) .

Bước 3: Giải (*) tìm $x_0$. Suy ra $y_0=f\left(x_0\right)$.

Bước 4: Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: $y=k\left(x-x_0\right)+y_0$

Lưu ý: Đề bài thường cho hệ số góc tiếp tuyến dưới các dạng sau:

- Tiếp tuyến $d\text{//}\Delta :y=ax+b\Rightarrow$ hệ số góc của tiếp tuyến là $k=a.$

- Tiếp tuyến $d\perp \Delta :y=ax+b,\left(a\ne 0\right)\iff$ hệ số góc của tiếp tuyến là $k=-\frac{1}{a}\cdot$

- Tiếp tuyến tạo với trục hoành một góc $\alpha$ thì hệ số góc của tiếp tuyến là $k=\pm \tan \alpha .$

Bài toán 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $\left(C\right):y=f\left(x\right)$ biết tiếp tuyến đi qua điểm $A\left(x_A;y_A\right).$

Cách 1.

Bước 1: Phương trình tiếp tuyến đi qua $A\left(x_A;y_A\right)$ hệ số góc k có dạng

$d:y=k\left(x-x_A\right)+y_A(\ast )$

Bước 2: d là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:

$\{\begin{array}{c}f\left(x\right)=k\left(x-x_A\right)+y_A\\ f^{\prime }\left(x\right)=k\end{array}$

Bước 3: Giải hệ này tìm được x suy ra k và thế vào phương trình $(\ast )$, ta được tiếp tuyến cần tìm.

Cách 2.

Bước 1. Gọi $M\left(x_0;f\left(x_0\right)\right)$ là tiếp điểm và tính hệ số góc tiếp tuyến $k=y^{\prime }\left(x_0\right)=f^{\prime }\left(x_0\right)$ theo $x_0.$

Bước 2. Phương trình tiếp tuyến có dạng:$d:y=y^{\prime }\left(x_0\right).\left(x-x_0\right)+y_0(\ast \ast )$ . Do điểm $A\left(x_A;y_A\right)\in d$ nên $y_A=y^{\prime }\left(x_0\right).\left(x_A-x_0\right)+y_0$ giải phương trình này ta tìm được $x_0$.

Bước 3. Thế $x_0$vào $(\ast \ast )$ ta được tiếp tuyến cần tìm.

Bài toán 4 : Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đồ thị hàm số $\left(C_1\right):y=f\left(x\right)$ và $\left(C_2\right):y=g\left(x\right)$.

Bước 1. Gọi d tiếp tuyến chung của $\left(C_1\right),\left(C_2\right)$ và $x_0$ là hoành độ tiếp điểm của d và $\left(C_1\right)$ thì phương trình d có dạng $y=f^{\prime }\left(x_0\right).\left(x-x_0\right)+f\left(x_0\right)\left(***\right)$

Bước 2. Dùng điều kiện tiếp xúc của d và $\left(C_2\right)$, tìm được $x_0$.

Bước 3. Thế $x_0$ vào $\left(***\right)$ ta được tiếp tuyến cần tìm.

Lưu ý:

- Hệ số góc của tiếp tuyến với (C) tại điểm $M\left(x_0;y_0\right)$ thuộc (C) là: $k=y^{\prime }\left(x_0\right)$

- Cho đường thẳng $\left(d\right):y=ax+b$

- Tiếp tuyến tại các điểm cực trị của đồ thị (C) có phương song song hoặc trùng với trục hoành.

- Cho hàm số bậc 3: $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d,\left(a\ne 0\right)$

+) Khi a > 0: Tiếp tuyến tại tâm đối xứng của (C) có hệ số góc nhỏ nhất.

+) Khi a < 0: Tiếp tuyến tại tâm đối xứng của (C) có hệ số góc lớn nhất.

2. Công thức tính nhanh.

Bài toán 1: Cho hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+d}\left(c\ne 0,x\ne -\frac{d}{c}\right)$ có đồ thị (C). Phương trình tiếp tuyến $\Delta$ tại M thuộc (C) và I là giao điểm 2 đường tiệm cận. Ta luôn có:

- Nếu $\Delta \perp IM$ thì chỉ tồn tại 2 điểm M thuộc 2 nhánh của đồ thị (C) đối xứng qua I và $x_M=\frac{\pm \sqrt{\left|ad-bc\right|}-d}{c}$.

Cách nhớ: $\underset{}{\underset{}{c{x}_M+d}}=\pm \underset{}{\underset{}{\sqrt{\left|ad-bc\right|}}}$

- M luôn là trung điểm của AB(với A,B là giao điểm của $\Delta$ với 2 tiệm cận).

- Diện tích tam giác IAB không đổi với mọi điểm M và $S_{\Delta IAB}=2\frac{\left|}{bc-ad}$.

- Nếu E,F thuộc 2 nhánh của đồ thị (C) và E,F đối xứng qua I thì tiếp tuyến tại E,F
song song với nhau (suy ra một đường thẳng d đi qua E,F thì đi qua tâm I).

 

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

50 bài toán về tiếp tuyến của đồ thị hàm số và cách giải (có đáp án 2024) – Toán 12 

Bài tập về tiếp tuyến (có đáp án 2024) và cách giải