Ta định nghĩa các hàm sin hyperbolic và hàm côsin hyperbolic như sau:

$\text{sinhx =}\frac{1}{2}\left(e^x-e^{-x}\right);\cosh x=\frac{1}{2}\left(e^x+e^{-x}\right)$.

Chứng minh rằng:

a) sinh x là hàm số lẻ;

Vẽ đồ thị của các hàm số lôgarit sau: b) $y={\log }_{\frac{2}{3}}x$ .

Trong Vật lí, mức cường độ âm (tính bằng deciben, kí hiệu là dB) được tính bởi công thức $L=10\log \frac{I}{I_0}$ , trong đó I là cường độ âm tính theo W/m² và I₀ = 10⁻¹² W/m² là cường độ âm chuẩn, tức là cường độ âm thấp nhất mà tai người có thể nghe được.

a) Tính mức cường độ âm của một cuộc trò chuyện bình thường có cường độ âm là 10⁻⁷ W/m² .

b) Khi cường độ âm tăng lên 1 000 lần thì mức cường độ âm (đại lượng đặc trưng cho độ to nhỏ của âm) thay đổi thế nào?

Cho hàm số lôgarit f(x) = log_a x (0 < a ≠ 1). Chứng minh rằng:  b) f(x^a) = af(x).

Chu kì bán rã của đồng vị phóng xạ Radi 226 là khoảng 1 600 năm. Giả sử khối lượng m (tính bằng gam) còn lại sau t năm của một lượng Radi 226 được cho bởi công thức:

$m=25\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{t}{1600}}$.

a) Khối lượng ban đầu (khi t = 0) của lượng Radi 226 đó là bao nhiêu?

Cho hàm số mũ f(x) = a^x (a > 0). Chứng minh rằng:

b) $f\left(-x\right)=\frac{1}{f\left(x\right)}$  ;

Cho hàm số mũ f(x) = a^x (a > 0). Chứng minh rằng:

c) $f\left(x_1+x_2\right)=f\left(x_1\right)\cdot f\left(x_2\right)$  .    

Cho hàm số lôgarit f(x) = log_a x (0 < a ≠ 1). Chứng minh rằng:

a) $f\left(\frac{1}{x}\right)=-f\left(x\right)$ ;

c) (cosh x)² – (sinh x)² = 1 với mọi x.

b) Sau 2 500 năm khối lượng của lượng Radi 226 đó là bao nhiêu?

Nếu một ô kính ngăn khoảng 3% ánh sáng truyền qua nó thì phần trăm ánh sáng p truyền qua n ô kính liên tiếp được cho gần đúng bởi hàm số sau:

p (n) = 100 × (0,97)ⁿ.

a) Có bao nhiêu phần trăm ánh sáng sẽ truyền qua 10 ô kính?

Vẽ đồ thị của các hàm số lôgarit sau:

a) $y={\log }_{\sqrt{3}}x$ ;

Tính số tiền (cả vốn lẫn lãi) thu được sau 5 năm nếu nó được tính lãi kép:

b) hằng tháng;

Tìm tập xác định của các hàm số sau: b) $y={\log }_{\frac{1}{2}}\left|x-1\right|$ .

b) cosh x là hàm số chẵn;