a) Lập bảng giá trị của hàm số tại một số điểm như sau:

Từ đó, ta vẽ được đồ thị của hàm số $y={\log }_{\sqrt{3}}x$  như hình sau

b) Lập bảng giá trị của hàm số tại một số điểm như sau:

Từ đó, ta vẽ được đồ thị của hàm số $y={\log }_{\frac{2}{3}}x$  như hình sau:

a) Ta có $\frac{f\left(x+1\right)}{f\left(x\right)}=\frac{a^{x+1}}{a^x}=\frac{a\cdot a^x}{a^x}=a$ .

c) Ta có $f\left(x_1+x_2\right)=a^{x_1+x_2}=a^{x_1}\cdot a^{x_2}=f\left(x_1\right)\cdot f\left(x_2\right)$  .

a) Điều kiện: x + 1 > 0 Û x > −1.

Vậy tập xác định của hàm số là (−1; +¥).

b) Điều kiện |x – 1| > 0 Û x ≠ 1.

Vậy tập xác định của hàm số là ℝ\{1}.

a) Ta có $f\left(\frac{1}{x}\right)={\log }_a\frac{1}{x}={\log }_a{x}^{-1}=-{\log }_{a}x=-f\left(x\right)$  . 

a) Hàm số $\text{f}\left(x\right)\text{ = sinhx =}\frac{1}{2}\left(e^x-e^{-x}\right)$  có tập xác định D = ℝ.

Ta có: ∀ x ∈ D ⇒ – x ∈ D.

Và $\text{f}\left(-x\right)\text{=}\frac{1}{2}\left(e^{-x}-e^x\right)=-\frac{1}{2}\left(e^x-e^{-x}\right)=-\text{f}\left(x\right)$ , ∀ x ∈ ℝ.

Do đó, sinh x là hàm số lẻ.

b) Hàm số $g\left(x\right)=\cosh x=\frac{1}{2}\left(e^x+e^{-x}\right)$  có tập xác định D = ℝ.

Ta có: ∀ x ∈ D ⇒ – x ∈ D.

Và $g\left(-x\right)=\frac{1}{2}\left(e^{-x}+e^x\right)=g\left(x\right)$  , ∀ x ∈ ℝ.

Do đó, cosh x là hàm số chẵn.

c) Ta có: (cosh x)² – (sinh x)^{2$\text{ =}\frac{1}{4}{\left(e^x+e^{-x}\right)}^2-\frac{1}{4}{\left(e^x-e^{-x}\right)}^2$}

^{$\text{ =}\frac{1}{4}\left(e^{2x}+2e^x\cdot e^{-x}+e^{-2x}\right)-\frac{1}{4}\left(e^{2x}-2e^x\cdot e^{-x}+e^{-2x}\right)$}

$\text{ =}\frac{1}{4}{e}^{2x}+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}{e}^{-2x}-\frac{1}{4}{e}^{2x}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}{e}^{-2x}=1$.

Do đó, (cosh x)² – (sinh x)² = 1 với mọi x.

a) Phần trăm ánh sáng sẽ truyền qua 10 ô kính là: p (10) = 100 × (0,97)¹⁰ » 74%.

Vậy khoảng 74% ánh sáng sẽ truyền qua 10 ô kính.

b) Phần trăm ánh sáng sẽ truyền qua 25 ô kính là: p (25) = 100 × (0,97)²⁵ » 47%.

Vậy khoảng 47% ánh sáng sẽ truyền qua 25 ô kính.

Chú ý:

- Công thức lãi kép theo định kì để tính tổng số tiền thu được $A=P{\left(1+\frac{r}{n}\right)}^t$ , trong đó P là số tiền vốn ban đầu, r là lãi suất năm (r cho dưới dạng số thập phân), n là số kì tính lãi trong một năm và t là số kì gửi.

- Công thức tính lãi kép liên tục A = Pe^rt, trong đó r là lãi suất năm (r cho dưới dạng số thập phân) và t là số năm gửi tiết kiệm.

a) Áp dụng công thức $A=P{\left(1+\frac{r}{n}\right)}^t$ với P = 120, r = 6% = 0,06, n = 4, t = 20, ta được số tiền (cả vốn lẫn lãi) thu được sau 5 năm nếu nó được tính lãi kép hằng quý là:

$A=P{\left(1+\frac{r}{n}\right)}^t=120\cdot {\left(1+\frac{0,06}{4}\right)}^{20}=120\cdot 1,{015}^{20}\approx 161,623$ (triệu đồng).

Vậy số tiền (cả vốn lẫn lãi) thu được sau 5 năm nếu nó được tính lãi kép hằng quý khoảng 161,623 triệu đồng.

b) Áp dụng công thức $A=P{\left(1+\frac{r}{n}\right)}^t$ với P = 120, r = 6% = 0,06, n = 12, t = 60, ta được số tiền (cả vốn lẫn lãi) thu được sau 5 năm nếu nó được tính lãi kép hằng tháng là:

$A=P{\left(1+\frac{r}{n}\right)}^t=120\cdot {\left(1+\frac{0,06}{12}\right)}^{60}=120\cdot 1,{005}^{60}\approx 161,862$ (triệu đồng).

Vậy số tiền (cả vốn lẫn lãi) thu được sau 5 năm nếu nó được tính lãi kép hằng tháng khoảng 161,862 triệu đồng.

c) Áp dụng công thức tính lãi kép liên tục A = Pe^rt  với P = 120, r = 6% = 0,06, t = 5, ta được số tiền (cả vốn lẫn lãi) thu được sau 5 năm nếu nó được tính lãi kép liên tục là:

A = 120 × e^0,06×5 = 120 × e^0,3 » 161,983 (triệu đồng).

Vậy số tiền (cả vốn lẫn lãi) thu được sau 5 năm nếu nó được tính lãi kép liên tục khoảng 161,983 triệu đồng.

a) Khối lượng ban đầu (khi t = 0) của lượng Radi 226 đó là:  $m=25\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{0}{1600}}=25$(g).

Vậy khối lượng ban đầu (khi t = 0) của lượng Radi 226 đó là 25 gam.

b) Sau 2 500 năm (t = 2 500) khối lượng của lượng Radi 226 đó là:

$m=25\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{2500}{1600}}\approx 8,46$ (g).

Vậy sau 2 500 năm khối lượng của lượng Radi 226 đó khoảng 8,46 gam.

a) Mức cường độ âm của một cuộc trò chuyện bình thường có cường độ âm 10⁻⁷ W/m² là:  (dB).

Vậy mức cường độ âm của một cuộc trò chuyện bình thường có cường độ âm 10⁻⁷ W/m² là 50 dB.

b) Khi cường độ âm tăng lên 1 000 lần, ta có mức cường độ âm

$L=10\log \frac{1000I}{I_0}=10\left(\log 1000+\log \frac{I}{I_0}\right)=10\left(3+\log \frac{I}{I_0}\right)=30+10\log \frac{I}{I_0}$.

Vậy mức cường độ âm tăng lên 30 dB khi cường độ âm tăng lên 1 000 lần.