Có một mảnh bìa hình chữ nhật ABCD với AB=4a, AD=2a. Người ta đánh dấu M là trung điểm của AB, N và P là các điểm thuộc CD sao cho DN=CP=a. Sau đó người ta cuốn mảnh bìa lại sao cho cạnh BC trùng với cạnh AD tạo thành một hình trụ. Thể tích của tứ diện AMNP với các đỉnh A, M, N, P nằm trên hình trụ vừa tạo thành bằng:

Cho hàm số $y=f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$ có đồ thị (C) như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình $f^2\left(\left|x\right|\right)+\left(m-2\right)f\left(\left|x\right|\right)+m-3=0$ có 6 nghiệm phân biệt?

Trong A, B lần lượt là diểm biểu diễn các số phức z₁, z₂. Trọng tâm G của tam giác OAB là điểm biểu diễn số phức như trong hình vẽ. Giá trị ${\left|z_1\right|}^2+{\left|z_2\right|}^2+{\left|z_3\right|}^2$ bằng:

Cho $a={\log }_{7}12$ và $b={\log }_{12}14$. Biểu diễn $c={\log }_{84}54$ theo a và b, ta được kết quả:

Người ta cần làm một hộp theo dạng một khối lăng trụ đều không nắp với thể tích lớn nhất từ một miếng tôn hình vuông có cạnh là 1 mét. Thể tích của hộp cần làm là:

Cho hai số thực x, y thỏa mãn $\left\{\begin{array}{l}x\ge 0;y\ge 0\\ x+y=1\end{array}\right.$. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\left(4x^2+3y\right)\left(4y^2+3x\right)+25xy$. Khi đó có giá trị bằng:

Cho hàm số $y=x^3+a{x}^2+bx+c$. Giả sử A, B là các điểm cực trị của đồ thị hàm số. Biết rằng AB đi qua gốc tọa độ. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=abc+ab+c$ là:

Tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số $y=\frac{mx+4}{x+m}$ nghịch biến khoảng (1;+∞) là:

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có đường chéo bằng $a\sqrt{3}$. Thể tích khối chóp A’.ABCD bằng:

Biết đồ thị hàm số $y=\frac{\left(m-n\right)x^2+mx+1}{x^2+mx+n-6}$ (m, n là tham số) nhận trục hoành và trục tung làm hai đường tiệm cận. Giá trị của tổng bằng:

Gọi m là số thực dương sao cho đường thẳng y = m+1 cắt đồ thị hàm số $y=x^4-3x^2-2$ tại hai điểm A, B thỏa mãn tam giác OAB vuông tại O (O là gốc tọa độ). Kết luận nào sau đây đúng?

Cho ${\log }_{\frac{1}{2}}\left(\frac{1}{5}\right)=a$. Khẳng định nào sau đây đúng?

Trong không gian Oxyz, cho điểm A(2;2;2) và mặt cầu $\left(S\right):x^2+y^2+{\left(z-1\right)}^2=4$. Từ điểm A kẻ 3 tiếp tuyến AB, AC, AD với mặt cầu (S), trong đó B, C, D là các tiếp điểm. Phương trình mặt phẳng (BCD) là:

Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1;−3;2). Có bao nhiêu mặt phẳng đi qua M và cắt các trục tọa độ tại A, B, C thỏa mãn OA = OB = OC ≠ 0?

Cho mặt cầu S(O;r) và một điểm A với OA > R. Từ A dựng các tiếp tuyến với mặt cầu S(O;r), gọi M là tiếp điểm bất kì. Tập hợp các điểm M là:

Cho hình chóp tam giác có đáy là một tam giác vuông cân, cạnh huyền bằng 10 m sao cho các cạnh bên của chóp hợp với đáy các góc 45^o,45^o,60^o. Khi đó thể tích của khối chóp nằm trong khoảng nào sau đây?