Có bao nhiêu số phức z đôi một khác nhau thỏa mãn $\left|z+i\right|=2$ và ${\left(z-2\right)}^4$ là số thực?

Phương pháp:

- Từ giả thiết $\left|z+i\right|=2$ suy ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức z

- Từ giả thiết ${\left(z-2\right)}^4$ là số thực chứng minh hoặc z - 2 là số thực, hoặc z - 2 là số thuần ảo, hoặc z - 2 có phần thực bằng cộng trừ phần ảo.

- Sử dụng phương pháp hình học.

Cách giải:

Vì $\left|z+i\right|=2\Rightarrow \left|z-\left(-i\right)\right|=2$ nên tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I(0; -1), bán kính R = 2.

Gọi $z-2=x+yi$ ta có:

${\left(z-2\right)}^2={\left(x+yi\right)}^4={\left(x^2-y^2+2xyi\right)}^2$

$={\left(x^2-y^2\right)}^2+4xy\left(x^2-y^2\right)i-4x^2{y}^2$

$=x^4-8x^2{y}^2+y^4+4xy\left(x^2-y^2\right)i$

Vì ${\left(z-2\right)}^2$ là số thực nên $4xy\left(x^2-y^2\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ y=0\\ \left|x\right|=\left|y\right|\end{array}\right.$

TH1: $x=0\Rightarrow z-2=yi\Rightarrow z=2+yi\Rightarrow$ tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng x = 2 trừ điểm (2; 0).

TH2: $y=0\Rightarrow z-2=z\iff z=x+2\Rightarrow$ tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng y = 0 trừ điểm (-2; 0).

TH3: $\left|x\right|=\left|y\right|\Rightarrow \left[\begin{array}{l}x=y\Rightarrow z-2=x+xi\Rightarrow z=x+2+xi\\ x=-y\Rightarrow z-2=x-xi\Rightarrow z=x+2-xi\end{array}\right.\Rightarrow$ tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng $\left[\begin{array}{l}y=x-2\\ y=-x+2\end{array}\right.$ trừ điểm $\left(0;-2\right),\left(2;0\right),\left(0;2\right),\left(-2;0\right)$.

Ta có hình vẽ:

Vậy có 5 số phức z thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn B.