Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để đồ thị hàm số $y=x^3-12x+1-m$ cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt?

*Lời giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm $x^3-12x+1-m=0\iff m=x^3-12x+1=f\left(x\right)$.

Để đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt thì đường thẳng $y=m$ phải cắt đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ tại 3 điểm phân biệt.

Ta có $f^{\prime }\left(x\right)=3x^2-12=0\iff x=\pm 2$.

BBT:

Dựa vào BBT ta thấy để đường thẳng $y=m$ phải cắt đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ tại 3 điểm phân biệt thì $-15<m<17$.

Mà $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{-14;-13;-12;...;15;16\right\}$. Vậy có 31 giá trị của mthỏa mãn yêu cầu bài toán.

*Phương pháp giải:

- Xét phương trình hoành độ giao điểm, cô lập m, đưa phương trình về dạng $m=f\left(x\right)$ .

- Để đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt thì đường thẳng $y=m$ phải cắt đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ tại 3 điểm phân biệt.

- Lập BBT hàm số $y=f\left(x\right)$ và tìm m thỏa mãn.

* Dạng bài toán:

 Dạng 1: Tìm giá trị của m để hàm số đơn điệu trên R.

* Phương pháp làm bài:

– Bước 1: Tính f′(x).

– Bước 2: Nêu các điều kiện của bài toán:

+ Hàm số y=f(x) đồng biến trên R⇔y′=f′(x)⩾0,với ∀x∈R và y′=0 tại một hữu hạn điểm.

+ Hàm số y=f(x) nghịch biến trên R⇔y′=f′(x)⩽0,với ∀x∈R và y′=0 tại một hữu hạn điểm.

– Bước 3: Từ các điều kiện trên sử dụng các kiến thức về dấu của nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai để tìm m. 

 Dạng 2: Tìm m để hàm số đơn điệu trên miền D đã cho trước.

* Phương pháp làm bài:

– Bước 1: Nêu các điều kiện để hàm số đơn điệu trên D:

+ Hàm số y=f(x) đồng biến trên D⇔y′=f′(x)⩾0, với ∀x∈D.

+ Hàm số y=f(x) nghịch biến trên D⇔y′=f′(x)⩽0,với ∀x∈D.

– Bước 2: Từ điều kiện trên hãy sử dụng các cách suy luận khác nhau cho từng bài toán để tìm m.

- Bước 3: Kết luận

c) Dạng 4: Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng

– Bước 1: Tính y′

– Bước 2: Nêu điều kiện để hàm số đồng biến và nghịch biến:

– Bước 3: Đưa ra kết luận.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Trắc nghiệm Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số (có đáp án)

Bài tập Sự đồng biến nghịch biến của hàm số Toán 12 mới nhất

Trắc nghiệm Hàm lũy thừa (có đáp án)