Phân tích theo viete: x₁³ + x₂³

*Lời giải:

Theo hệ thức Vi - ét : 

$\{\begin{array}{l}S=x_1+x_2={\displaystyle \frac{-b}{a}}\\ \\ \\ P=x_1\times x_2={\displaystyle \frac{c}{a}}\end{array}$

Ta có : $x_1^3+x_2^3$ 

$=S^3-3PS$ 

$=(x_1+x_2{)}^3-3\times x_1{x}_2\times (x_1+x_2)$ 

Vậy : 

$x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2{)}^3-3\times x_1{x}_2\times (x_1+x_2)$ 

* Phương pháp giải:

- Dạng tổng quát: a$x^2$ + bx + c = 0 (a ≠ 0)

- Biệt thức: $\Delta =b^2$- 4ac; $\Delta \text{'}=b{\text{'}}^2$- ac (với b = 2b’)

- Công thức nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn:

+) Nếu Δ < 0 thì phương trình vô nghiệm

+) Nếu Δ = 0 thì phương trình có nghiệm kép: $x_1=x_2=-\frac{b}{2a}$

+) Nếu Δ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a};x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}$

- Công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai một ẩn:

+) Nếu Δ’ < 0 thì phương trình vô nghiệm

+) Nếu Δ’ = 0 thì phương trình có nghiệm kép: $x_1=x_2=-\frac{b\text{'}}{a}$

+) Nếu Δ’ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_1=\frac{-b\text{'}-\sqrt{\Delta \text{'}}}{a};x_2=\frac{-b\text{'}-\sqrt{\Delta \text{'}}}{a}$

* Lý thuyết nắm thêm

- Dạng tổng quát: a$x^2$ + bx + c = 0 (a ≠ 0)

- Biệt thức: $\Delta =b^2$- 4ac; $\Delta \text{'}=b{\text{'}}^2$- ac (với b = 2b’)

- Công thức nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn:

+) Nếu Δ < 0 thì phương trình vô nghiệm

+) Nếu Δ = 0 thì phương trình có nghiệm kép: $x_1=x_2=-\frac{b}{2a}$

+) Nếu Δ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a};x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}$

- Công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai một ẩn:

+) Nếu Δ’ < 0 thì phương trình vô nghiệm

+) Nếu Δ’ = 0 thì phương trình có nghiệm kép: $x_1=x_2=-\frac{b\text{'}}{a}$

+) Nếu Δ’ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_1=\frac{-b\text{'}-\sqrt{\Delta \text{'}}}{a};x_2=\frac{-b\text{'}-\sqrt{\Delta \text{'}}}{a}$

- Hệ thức Vi – ét: Cho phương trình bậc hai một ẩn a$x^2$ + bx + c = 0 (a ≠ 0) . Nếu $x_1,x_2$ là nghiệm của phương trình thì ta có:

$\left\{\begin{array}{l}S=x_1+x_2=-\frac{b}{a}\\ P=x_1.x_2=\frac{c}{a}\end{array}\right.$

Các dạng bài tập và ví dụ minh họa

Dạng 1: Cách giải phương trình bậc hai một ẩn

Phương pháp giải:

- Đưa phương trình về dạng tổng quát: a$x^2$ + bx + c = 0 (a ≠ 0)

- Tính biệt thức: $\Delta =b^2$- 4ac hoặc $\Delta \text{'}=b{\text{'}}^2$- ac (với b = 2b’)

+) Nếu Δ < 0 thì phương trình vô nghiệm

+) Nếu Δ = 0 thì phương trình có nghiệm kép: $x_1=x_2=-\frac{b}{2a}$

+) Nếu Δ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a};x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}$

Hoặc

+) Nếu Δ’ < 0 thì phương trình vô nghiệm

+) Nếu Δ’ = 0 thì phương trình có nghiệm kép: $x_1=x_2=-\frac{b\text{'}}{a}$

+) Nếu Δ’ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_1=\frac{-b\text{'}-\sqrt{\Delta \text{'}}}{a};x_2=\frac{-b\text{'}-\sqrt{\Delta \text{'}}}{a}$

Dạng 2: Kiểm tra một số có phải là nghiệm của phương trình

Phương pháp giải:

Để kiểm tra một số $x_0$ có là nghiệm của phương trình a$x^2$ + bx + c = 0 (a ≠ 0) hay không, ta thay $x_0$ vào phương trình để kiểm tra:

+) Nếu a${x_0}^2$ + b$x_0$ + c = 0 thì $x_0$ là nghiệm của phương trình.

+) Nếu a${x_0}^2$ + b$x_0$ + c ≠ 0 thì $x_0$ không là nghiệm của phương trình.

Dạng 3: Giải và biện luận phương trình bậc hai chứa tham số

Phương pháp giải:

Biện luận phương trình : a$x^2$ + bx + c = 0

TH1: a = 0

Phương trình trở thành phương trình bậc nhất: bx + c = 0

Khi đó, ta có:

Nếu b khác 0 thì phương trình có nghiệm duy nhất là: $x=\frac{-c}{b}$

Nếu b = 0 và c = 0 thì phương trình có vô số nghiệm.

Nếu b = 0 và c khác 0 thì phương trình vô nghiệm.

TH2: a khác 0

Tính biệt thức: $\Delta =b^2$- 4ac hoặc $\Delta \text{'}=b{\text{'}}^2$- ac (với b = 2b’)

+) Nếu Δ < 0 thì phương trình vô nghiệm

+) Nếu Δ = 0 thì phương trình có nghiệm kép: $x_1=x_2=-\frac{b}{2a}$

+) Nếu Δ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a};x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}$

Hoặc

+) Nếu Δ’ < 0 thì phương trình vô nghiệm

+) Nếu Δ’ = 0 thì phương trình có nghiệm kép: $x_1=x_2=-\frac{b\text{'}}{a}$

+) Nếu Δ’ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_1=\frac{-b\text{'}-\sqrt{\Delta \text{'}}}{a};x_2=\frac{-b\text{'}-\sqrt{\Delta \text{'}}}{a}$

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

50 bài tập về Các dạng bài tập Phương trình bậc hai một ẩn (có đáp án 2024) - Toán 9

Giải SBT Toán 9 Bài 3: Phương trình bậc hai một ẩn