Cho tứ diện ABCD. Gọi G₁ và G₂ lần lượt là trọng tâm của hai tam giác ABD và ACD. Chứng minh G₁G₂ song song với các mặt phẳng (ABC) và (BCD).

Lời giải

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của DB, DC.

Xét ∆DBC có M, N lần lượt là trung điểm của DB, DC nên MN là đường trung bình của ∆DBC, suy ra MN // BC.

Do G₁ là trọng tâm ∆ABD nên $\frac{A{G}_1}{AM}=\frac{2}{3};$

      G₂ là trọng tâm ∆ACD nên $\frac{A{G}_2}{AN}=\frac{2}{3}.$

Do đó $\frac{A{G}_1}{AM}=\frac{A{G}_2}{AN}=\frac{2}{3}.$

Trong tam giác AMN, ta có $\frac{A{G}_1}{AM}=\frac{A{G}_2}{AN}=\frac{2}{3}$  nên G₁G₂ // MN (định lí Thalès đảo)

Mà MN // BC (chứng minh trên)

Suy ra G₁G₂ // MN // BC, mà BC ⊂ (ABC), MN ⊂ (BCD).

Suy ra G₁G₂ song song với các mặt phẳng (ABC) và (BCD).

*Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về điều kiện để một đường thẳng song song với một mặt phẳng để chứng minh: Nếu đường thẳng a không nằm trong mặt phẳng (P) và song song với một đường thẳng b nào đó nằm trong (P) thì a song song với (P).

*Lý thuyết

Cho đường thẳng d và mặt phẳng (α). Tùy theo số điểm chung của d và (α), ta có ba trường hợp sau:

- d và (α) không có điểm chung. Khi đó ta nói d song song với (α) hay (α) song song với d và kí hiệu là d // (α) hay (α) // d.

- d và (α) chỉ có một điểm chung duy nhất M. Khi đó ta nói d và (α) cắt nhau tại điểm M và kí hiệu $d\cap \left(\alpha \right)=M$.

- d và (α) có từ hai điểm chung trở lên. Khi đó, d nằm trong (α) hay (α) chứa d và kí hiệu $d\subset \left(\alpha \right)$.

II. Tính chất

- Định lí. Nếu đường thẳng d không nằm trong mặt phẳng (α) và d song song với đường thẳng d’ nằm trong (α) thì d song song với (α).

- Định lí. Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (α). Nếu mặt phẳng (β) chứa a và cắt (α) theo giao tuyến b thì b song song với a.

- Hệ quả. Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với đường thẳng đó.

- Định lí. Cho hai đường thẳng chéo nhau. Có duy nhất một mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.

Xem thêm

Lý thuyết Đường thẳng và mặt phẳng song song (mới + Bài Tập) - Toán 11 

TOP 40 câu Trắc nghiệm Đường thẳng và mặt phẳng song song (có đáp án ) – Toán 11