Câu hỏi:
06/07/2024 86
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB và CD, P là trung điểm của SA. Chứng minh:
a) MN song song với các mặt phẳng (SBC) và (SAD);
b) SB song song với (MNP);
c) SC song song với (MNP).
d) Gọi G1 và G2 theo thứ tự là trọng tâm của hai tam giác ABC và SBC. Chứng minh G1G2 song song với (SAD).
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB và CD, P là trung điểm của SA. Chứng minh:
a) MN song song với các mặt phẳng (SBC) và (SAD);
b) SB song song với (MNP);
c) SC song song với (MNP).
d) Gọi G1 và G2 theo thứ tự là trọng tâm của hai tam giác ABC và SBC. Chứng minh G1G2 song song với (SAD).
Trả lời:
a) Hình bình hành ABCD có M, N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB và CD nên MN // AD // BC
Ta có MN // BC và BC ⊂ (SBC), suy ra MN // (SBC);
MN // AD và AD ⊂ (SAD), suy ra MN // (SAD).
Vậy MN song song với các mặt phẳng (SBC) và (SAD).
b) Trong ∆SAB, có P, M lần lượt là trung điểm của SA, AB nên PM là đường trung bình, suy ra PM // SB
Mà PM ⊂ (MNP), suy ra SB // (MNP).
c) Trong mặt phẳng (SAB) vẽ đường thẳng d đi qua S và song song AB.
Gọi E là giao điểm của MP và d.
Ta có d // AB hay ES // AB, mà AB // CD nên ES // DC, tức là ES // NC (1)
Ta cũng có ES // MB và EM // SB nên MBSE là hình bình hành, suy ra ES = MB
Mà MB = NC (do M, N lần lượt là trung điểm của AB, DC và AB = DC)
Suy ra ES = NC (2)
Từ (1) và (2) suy ra ESCN là hình bình hành nên SC // NE.
Lại có NE ⊂ (MNP), suy ra SC // (MNP).
d) Gọi I là trung điểm của BC.
Do G1 và G2 theo thứ tự là trọng tâm của ∆ABC và ∆SBC nên
Trong ∆SIA, ta có suy ra G1G2 // SA (định lí Thalès đảo)
Mà SA ⊂ (SAD), nên G1G2 // (SAD).
a) Hình bình hành ABCD có M, N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB và CD nên MN // AD // BC
Ta có MN // BC và BC ⊂ (SBC), suy ra MN // (SBC);
MN // AD và AD ⊂ (SAD), suy ra MN // (SAD).
Vậy MN song song với các mặt phẳng (SBC) và (SAD).
b) Trong ∆SAB, có P, M lần lượt là trung điểm của SA, AB nên PM là đường trung bình, suy ra PM // SB
Mà PM ⊂ (MNP), suy ra SB // (MNP).
c) Trong mặt phẳng (SAB) vẽ đường thẳng d đi qua S và song song AB.
Gọi E là giao điểm của MP và d.
Ta có d // AB hay ES // AB, mà AB // CD nên ES // DC, tức là ES // NC (1)
Ta cũng có ES // MB và EM // SB nên MBSE là hình bình hành, suy ra ES = MB
Mà MB = NC (do M, N lần lượt là trung điểm của AB, DC và AB = DC)
Suy ra ES = NC (2)
Từ (1) và (2) suy ra ESCN là hình bình hành nên SC // NE.
Lại có NE ⊂ (MNP), suy ra SC // (MNP).
d) Gọi I là trung điểm của BC.
Do G1 và G2 theo thứ tự là trọng tâm của ∆ABC và ∆SBC nên
Trong ∆SIA, ta có suy ra G1G2 // SA (định lí Thalès đảo)
Mà SA ⊂ (SAD), nên G1G2 // (SAD).
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho tứ diện ABCD. Gọi G1 và G2 lần lượt là trọng tâm của hai tam giác ABD và ACD. Chứng minh G1G2 song song với các mặt phẳng (ABC) và (BCD).
Cho tứ diện ABCD. Gọi G1 và G2 lần lượt là trọng tâm của hai tam giác ABD và ACD. Chứng minh G1G2 song song với các mặt phẳng (ABC) và (BCD).
Câu 2:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi (α) là mặt phẳng đi qua trung điểm M của cạnh AB, song song với BD và SA. Tìm giao tuyến của mặt phẳng (α) với các mặt của hình chóp.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi (α) là mặt phẳng đi qua trung điểm M của cạnh AB, song song với BD và SA. Tìm giao tuyến của mặt phẳng (α) với các mặt của hình chóp.
Câu 3:
Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng có tâm lần lượt là O và O’.
a) Chứng minh OO’ song song với các mặt phẳng (ADF) và (BCE).
b) Gọi M, N lần lượt là hai điểm thuộc hai cạnh AF, AD sao cho Chứng minh MN // (DCEF).
Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng có tâm lần lượt là O và O’.
a) Chứng minh OO’ song song với các mặt phẳng (ADF) và (BCE).
b) Gọi M, N lần lượt là hai điểm thuộc hai cạnh AF, AD sao cho Chứng minh MN // (DCEF).
Câu 4:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình bình hành. Gọi G là trọng tâm của tam giác SAB, I là trung điểm của AB và M là điểm thuộc cạnh AD sao cho Đường thẳng đi qua M và song song với AB cắt CI tại N. Chứng minh:
a) NG // (SCD);
b) MG // (SCD).