Cho tứ diện \[ABCD\] có \[G\] là trọng tâm của tam giác \[BCD\]. Gọi \[\left( P \right)\] là mặt phẳng qua \[G,\] song song với \[AB\,\] và \(CD.\)

(a) Tìm giao tuyến của \[\left( P \right)\] và \[\left( {BCD} \right)\].

(b) Chứng minh thiết diện của tứ diện \[ABCD\] cắt bởi mặt phẳng \[\left( P \right)\] là hình bình hành.

a) Gọi \(\Delta \) là giao tuyến của \(\left( P \right)\) và \(\left( {BCD} \right)\). Khi đó \(\Delta \) đi qua \(G\) và song song với \(CD.\)

Gọi \(H,\,\,K\) lần lượt là giao điểm của \(\Delta \) với \(BC\) và \(BD.\)

\[ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{H \in \left( P \right)}\\{H \in BC \subset \left( {BCD} \right)}\end{array}} \right. \Rightarrow H \in \left( P \right) \cap \left( {BCD} \right)(1)\]

\[ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{K \in \left( P \right)}\\{K \in BD \subset \left( {BCD} \right)}\end{array}} \right. \Rightarrow K \in \left( P \right) \cap \left( {BCD} \right)(2)\]

Từ \[\left( 1 \right),\left( 2 \right)\] ta có giao tuyến của \(\left( P \right)\) và \(\left( {BCD} \right)\) là \(HK.\)

b) Vì \(G\) là trọng tâm tam giác \(BCD\) và \(HK{\rm{//}}CD\) (do \[\Delta {\rm{//}}CD\]) nên theo định lí Thaés ta có: \(\frac{{CH}}{{CB}} = \frac{{MG}}{{MB}} = \frac{{DK}}{{DB}} = \frac{1}{3}\).

Giả sử \(\left( P \right)\) cắt hai mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) và \(\left( {ABD} \right)\) lâng lượt tại các giao tuyến là \(HI\) và \(KJ.\)

Ta có \[\left( P \right) \cap \left( {ABC} \right) = HI\]; \[\left( P \right) \cap \left( {ABD} \right) = KJ\,.\]

Mà \[AB{\rm{//}}\left( P \right)\] và \[AB \subset \left( {ABC} \right);\,\,AB \subset \left( {ABD} \right)\] nên \[HI{\rm{//}}AB{\rm{//}}KJ.\]

Vì \(HI{\rm{//}}KJ\) nên bốn điểm \(H,\,\,I,\,\,K,\,\,J\) đồng phẳng.

Ta dễ dang có:

\[\left( P \right) \cap \left( {ABC} \right) = HI;\]

\(\left( P \right) \cap \left( {ACD} \right) = IJ;\)

\[\left( P \right) \cap \left( {ABD} \right) = KJ\,;\]

\[\left( P \right) \cap \left( {BCD} \right) = KH.\]

Như vậy, thiết diện của tứ diện \[ABCD\] cắt bởi mặt phẳng \[\left( P \right)\] là tứ giác \(HIJK.\)

Theo hệ quả định lí Thalès:

Trong tam giác \(ABC\) với \(HI{\rm{//}}AB\) ta có \(\frac{{HI}}{{AB}} = \frac{{CH}}{{CB}} = \frac{1}{3}.\)

Trong tam giác \(ABD\) với \(KJ{\rm{//}}AB\) ta có \(\frac{{KJ}}{{AB}} = \frac{{DK}}{{BD}} = \frac{1}{3}.\)

\( \Rightarrow \frac{{HI}}{{AB}} = \frac{{KJ}}{{AB}} = \frac{1}{3} \Rightarrow HI = KJ.\)

Xét tứ giác \(HIJK\) có: \(HI{\rm{//}}KJ\) và \(HI = KJ\) nên \(HIJK\) là hình bình hành.

Vậy thiết diện của \[\left( P \right)\] và tứ diện \[ABCD\] là hình bình hành \(HIJK\).