Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH = 2cm, BC = 8cm. Đường vuông góc với AC tại C cắt đường thẳng AH ở D

Tính đường kính của đường tròn đi qua các điểm A, B, D, C

* Lời giải:

Ta có $\Delta$ABC cân tại A có đường cao AH nên AH cũng là đường phân giác $\Rightarrow \widehat{CAD}=\widehat{DAB}$

Suy ta $\Delta ACD=\Delta ABD$ (c – g – c) nên $\widehat{ABD}=\widehat{ACD}={90}^o$

Lấy I là trung điểm AD. Xét hai tam giác vuông ABD và ACD có

$IA=ID=IB=IC=\frac{AD}{2}$

Nên I là điểm cách đều A, B, D, C hay A, B, D, C cùng nằm trên đường tròn tâm I, đường kính AD

Do đó ta cần tính độ dài AD

Vì BC = 8cm $\Rightarrow$ BH = 4cm. Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông AHB ta được $AB=\sqrt{A{H}^2+B{H}^2}=\sqrt{4+16}=2\sqrt{5}$

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABD ta có $A{B}^2=AH.AD$

$\Rightarrow AD=\frac{A{B}^2}{AH}=\frac{20}{2}=10$

$\mathrm{Vậy\; đường\; kính\; cần\; tìm\; là\; 10cm}$

* Phương pháp giải:

Xác định tính chất của tam giác ABC cân tại A và đường cao AH.

Chứng minh tam giác ABD bằng tam giác ACD, suy ra $\widehat{ABD}=\widehat{ACD}={90}^o$.

Lấy trung điểm I của AD, chứng minh I cách đều A, B, C, D, từ đó suy ra I là tâm đường tròn ngoại tiếp.

Tính độ dài AD bằng cách sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác AHB và hệ thức lượng trong tam giác vuông ABD.

* Các lý thuyết cần nắm về các công thức trong hệ thức lượng tam giác:

Định lí côsin

Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b và AB = c. Ta có

a² = b² + c² – 2bc.cosA;

b² = c² + a² – 2ca.cosB;

c² = a² + b² – 2ab.cosC.

Hệ quả

 

Định lí sin

Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp.

Ta có

 

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Tất tần tật về Định lí Côsin và hệ quả chi tiết nhất 

Giải Toán 10 Bài 2 (Chân trời sáng tạo): Định lí côsin và định lí sin 

Trắc nghiệm Định lí côsin và định lí sin (Chân trời sáng tạo) có đáp án - Toán 10