Câu hỏi:
14/07/2024 96Cho n > 2 là số nguyên dương thỏa mãn \(3C_n^2 + 2A_n^2 = 3{n^2} - 5.\) Số hạng không chứa x trong khai triển \({\left( {2{x^3} - \frac{3}{{{x^2}}}} \right)^n},x \ne 0.\)
A. – 1 080;
B. 1 080;
C. 1 008;
D. – 1 008.
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có
\(3C_n^2 + 2A_n^2 = 3{n^2} - 5\)
\( \Leftrightarrow \frac{{3n!}}{{(n - 2)!2!}} + \frac{{2n!}}{{(n - 2)!}} = 3{n^2} - 5\)
\( \Leftrightarrow \frac{{3.n.(n - 1).(n - 2)!}}{{(n - 2)!.2}} + \frac{{2.n.(n - 1).(n - 2)!}}{{(n - 2)!}} = 3{n^2} - 5\)
\( \Leftrightarrow \frac{{3.n.(n - 1)}}{2} + 2.n.(n - 1) = 3{n^2} - 5\)
\( \Leftrightarrow 3{n^2} - 3n + 4{n^2} - 4n - 6{n^2} + 10 = 0\)
\( \Leftrightarrow {n^2} - 7n + 10 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 5\\n = 2\end{array} \right.\). Mà n > 2 nên n = 5.
Khi đó:
\({\left( {2{x^3} - \frac{3}{{{x^2}}}} \right)^5} = {\left( {2{x^3} - 3{x^{ - 2}}} \right)^5}\)
\( = C_5^0.{\left( {2{x^3}} \right)^5} + C_5^1.{\left( {2{x^3}} \right)^4}.\left( { - 3{x^{ - 2}}} \right) + C_5^2.{\left( {2{x^3}} \right)^3}.{\left( { - 3{x^{ - 2}}} \right)^2}\)
\( + C_5^3.{\left( {2{x^3}} \right)^2}.{\left( { - 3{x^{ - 2}}} \right)^3} + C_5^4.{\left( {2{x^3}} \right)^1}.{\left( { - 3{x^{ - 2}}} \right)^4} + C_5^5.{\left( { - 3{x^{ - 2}}} \right)^5}\)
\( = {2^5}.{x^{15}} + {5.2^4}.{x^{12}}.( - 3).{x^{ - 2}} + {10.2^3}.{x^9}.{\left( { - 3} \right)^2}.{x^{ - 4}}\)
\( + {10.2^2}.{x^6}.{\left( { - 3} \right)^3}.{x^{ - 6}} + 5.2{x^3}.{\left( { - 3} \right)^4}.\left( {{x^{ - 8}}} \right) + {\left( { - 3} \right)^5}.\left( {{x^{ - 10}}} \right)\)
\( = 32.{x^{15}} - 240.{x^{10}} + 720.{x^5}\)\( - 1080 + 810{x^{ - 5}} - 243.{x^{ - 10}}\)
Vậy số hạng không chứa x trong khai triển là –1 080.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có
\(3C_n^2 + 2A_n^2 = 3{n^2} - 5\)
\( \Leftrightarrow \frac{{3n!}}{{(n - 2)!2!}} + \frac{{2n!}}{{(n - 2)!}} = 3{n^2} - 5\)
\( \Leftrightarrow \frac{{3.n.(n - 1).(n - 2)!}}{{(n - 2)!.2}} + \frac{{2.n.(n - 1).(n - 2)!}}{{(n - 2)!}} = 3{n^2} - 5\)
\( \Leftrightarrow \frac{{3.n.(n - 1)}}{2} + 2.n.(n - 1) = 3{n^2} - 5\)
\( \Leftrightarrow 3{n^2} - 3n + 4{n^2} - 4n - 6{n^2} + 10 = 0\)
\( \Leftrightarrow {n^2} - 7n + 10 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 5\\n = 2\end{array} \right.\). Mà n > 2 nên n = 5.
Khi đó:
\({\left( {2{x^3} - \frac{3}{{{x^2}}}} \right)^5} = {\left( {2{x^3} - 3{x^{ - 2}}} \right)^5}\)
\( = C_5^0.{\left( {2{x^3}} \right)^5} + C_5^1.{\left( {2{x^3}} \right)^4}.\left( { - 3{x^{ - 2}}} \right) + C_5^2.{\left( {2{x^3}} \right)^3}.{\left( { - 3{x^{ - 2}}} \right)^2}\)
\( + C_5^3.{\left( {2{x^3}} \right)^2}.{\left( { - 3{x^{ - 2}}} \right)^3} + C_5^4.{\left( {2{x^3}} \right)^1}.{\left( { - 3{x^{ - 2}}} \right)^4} + C_5^5.{\left( { - 3{x^{ - 2}}} \right)^5}\)
\( = {2^5}.{x^{15}} + {5.2^4}.{x^{12}}.( - 3).{x^{ - 2}} + {10.2^3}.{x^9}.{\left( { - 3} \right)^2}.{x^{ - 4}}\)
\( + {10.2^2}.{x^6}.{\left( { - 3} \right)^3}.{x^{ - 6}} + 5.2{x^3}.{\left( { - 3} \right)^4}.\left( {{x^{ - 8}}} \right) + {\left( { - 3} \right)^5}.\left( {{x^{ - 10}}} \right)\)
\( = 32.{x^{15}} - 240.{x^{10}} + 720.{x^5}\)\( - 1080 + 810{x^{ - 5}} - 243.{x^{ - 10}}\)
Vậy số hạng không chứa x trong khai triển là –1 080.
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Rút gọn biểu thức \(M = \frac{{A_n^6 + A_n^5}}{{A_n^4}}\) với n ∈ ℕ, n ≥ 6 ta thu được kết quả là:
Câu 2:
Trong tủ sách có 10 cuốn tiểu thuyết; 8 cuốn truyện tranh và 6 cuốn tài liệu văn học. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 2 cuốn sách sao cho hai cuốn sách đó khác nhau về thể loại.
Câu 4:
Cho số tự nhiên n thỏa mãn \(C_n^2 + A_n^2 = 9n.\) Mệnh đề nào sau đây đúng?
