Cho mặt cầu S(O;r) mặt phẳng (P) cách tâm O một khoảng bằng $\frac{r}{2}$ cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là một đường tròn. Hãy tính theo r chu vi của đường tròn là giao tuyến của mặt phẳng (P) và mặt cầu (S)

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm liên tục trên R. Biết hàm số y=f'(x) có đồ thị như hình vẽ. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên $m\in \left[-2021;2021\right]$ để hàm số $g\left(x\right)=f\left(x+m\right)$ nghịch biến trên khoảng (1;2). Hỏi S có bao nhiêu phần tử?

Hỏi có bao nhiêu giá trị m nguyên trong [-2020;2020] để phương trình $\log \left(mx\right)=2\log \left(x+1\right)$ có nghiệm duy nhất?

Cho hàm số $y=x^4-2m{x}^2+m$, có đồ thị (C) với m là tham số thực. Gọi A là điểm thuộc đồ thị (C) có hoành độ bằng 1. Tìm m để tiếp tuyến Δ với đồ thị (C) tại A cắt đường tròn $\left(\gamma \right): {\left(x-1\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2=4$ tạo thành một dây cung có độ dài nhỏ nhất

Số nghiệm của phương trình ${\log }_{2021}x+{\log }_{2020}x=0$ là

Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có thể tích bằng V. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, A'C'. P là điểm trên cạnh BB' sao cho PB=2PB'. Thể tích của khối tứ diện CMNP bằng:

Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, $SD=\frac{3a}{2}$, hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm của cạnh AB. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD.

Hàm số nào trong bốn hàm số sau có bảng biến thiên như hình vẽ sau?

Cho đa giác lồi $A_1{A}_2...A_{20}$. Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh của đa giác đó. Xác suất để 3 đỉnh được chọn tạo thành 1 tam giác không có cạnh nào là cạnh của đa giác đã cho bằng

Giới hạn $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{2x-1}{2-3x}$ bằng

Cho số tự nhiên n thỏa mãn $C_n^0+C_n^1+C_n^2=11.$ Số hạng chứa $x^7$ trong khai triển của ${\left(x^3-\frac{1}{x^2}\right)}^n$ bằng

Hàm số $y=\frac{2x-5}{x+2}$ đồng biến trên

Đường cong trong hình bên là đồ thị của hàm số nào trong bốn hàm số dưới đây?

Cho dãy số $\left(u_n\right)$ với $u_n=n^2+n+1$ với $n\in N^{*}$. Số 21 là số hạng thứ bao nhiêu của dãy số đã cho?

Cho hình chóp S.ABC có AB=AC=4, BC=2, $SA=4\sqrt{3}$, $\angle SAB=\angle SAC={30}^0$. Gọi $G_1; G_2; G_3$ lần lượt là trọng tâm các tam giác $\Delta SBC, \Delta SCA, \Delta SAB$ và T đối xứng với S qua mặt phẳng (ABC). Thể tích khối chóp $T{G}_1{G}_2{G}_3$ bằng $\frac{a}{b}$, với $a, b\in N$ và $\frac{a}{b}$ tối giản. Tính giá trị của biểu thức P=2a-b

Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng y=m cắt đồ thị hàm số $y=x^3-3x^2$ tại ba điểm phân biệt A, B, C (B nằm giữa A và C) sao cho AB=2BC. Tính tổng các phần tử thuộc S.