Câu hỏi:
20/07/2026 70
Cho khối chóp \[S.ABC\] có đáy là tam giác đều cạnh \[a\], \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy và khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) bằng \(\frac{{3a}}{4}\). Tính thể tích khối chóp đã cho.
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Hướng dẫn giải
Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\), \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên \(SM\).
Vì \(\Delta ABC\) đều mà \(AM\) là trung tuyến nên \(AM \bot BC\) (1).
Lại có \(SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot BC\) (2).
Từ (1) và (2), suy ra \(BC \bot \left( {SAM} \right)\)\( \Rightarrow BC \bot AH\) mà \(AH \bot SM \Rightarrow AH \bot \left( {SBC} \right)\).
Khi đó ta có \(AH = d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right)\). Ta có: \(AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2},AH = \frac{{3a}}{4}\).
\(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{M^2}}} \Rightarrow \frac{1}{{S{A^2}}} = \frac{4}{{9{a^2}}} \Rightarrow SA = \frac{{3a}}{2}\).
\[V = \frac{1}{3}{S_{\Delta ABC}}.SA = \frac{1}{3}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.\frac{{3a}}{2} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{8}\].
Hướng dẫn giải
Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\), \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên \(SM\).
Vì \(\Delta ABC\) đều mà \(AM\) là trung tuyến nên \(AM \bot BC\) (1).
Lại có \(SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot BC\) (2).
Từ (1) và (2), suy ra \(BC \bot \left( {SAM} \right)\)\( \Rightarrow BC \bot AH\) mà \(AH \bot SM \Rightarrow AH \bot \left( {SBC} \right)\).
Khi đó ta có \(AH = d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right)\). Ta có: \(AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2},AH = \frac{{3a}}{4}\).
\(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{M^2}}} \Rightarrow \frac{1}{{S{A^2}}} = \frac{4}{{9{a^2}}} \Rightarrow SA = \frac{{3a}}{2}\).
\[V = \frac{1}{3}{S_{\Delta ABC}}.SA = \frac{1}{3}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.\frac{{3a}}{2} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{8}\].
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để phương trình \({3^{2x - 1}} + 2{m^2} - m - 3 = 0\) có nghiệm.
Câu 2:
Đạo hàm cấp 2 của hàm số \[f\left( x \right) = {x^2}\] bằng biểu thức nào sau đây?
Câu 3:
Tập xác định của hàm số \(f\left( x \right) = {\log _5}\left( {30 - {x^2}} \right)\) chứa bao nhiêu số nguyên?
Câu 4:
Một thầy giáo có 20 quyển sách khác nhau gồm 7 quyển sách Toán, 5 quyển sách Lí và 8 quyển sách Hóa. Thầy giáo lấy ngẫu nhiên ra 9 quyển sách để tặng cho học sinh. Tính xác suất để thầy giáo sau khi tặng số sách còn lại của thầy có đủ 3 môn?
Câu 6:
Cho hình lăng trụ đứng \[ABCD.A'B'C'D'\]có đáy \[ABCD\] là hình vuông. Khẳng định nào sau đây đúng ?
Câu 7:
Cho khối chóp tứ giác đều \[S.ABCD\]có cạnh đáy bằng \[\sqrt 2 a\] và tam giác \[SAC\]đều. Thể tích của khối chóp đã cho bằng
Câu 8:
Đạo hàm của hàm số \(y = f(x) = {x^2} + 2x\) tại điểm \({x_0} = 1\) được kí hiệu là:
Câu 9:
Trong không gian cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\), mặt phẳng nào sau đây vuông góc với mặt phẳng \((ABCD)\) ?
Trong không gian cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\), mặt phẳng nào sau đây vuông góc với mặt phẳng \((ABCD)\) ?
Câu 10:
Hai xạ thủ M và N cùng bắn súng vào một tấm bia. Biết rằng xác suất bắn trúng của xạ thủ M là 0,3, của xạ thủ N là 0,2. Khả năng bắn trúng của hai xạ thủ là độc lập. Xác suất của biến cố "Cả hai xạ thủ đều bắn trúng" là
Câu 11:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm I, cạnh bên SA vuông góc với đáy. H, K lần lượt là hình chiếu của A lên SC, SD. Khẳng định nào sau đây đúng ?
Câu 12:
Đạo hàm của hàm số \(y = {x^4} - 3{x^2} + 2x - 1\) bằng biểu thức nào sau đây?
Đạo hàm của hàm số \(y = {x^4} - 3{x^2} + 2x - 1\) bằng biểu thức nào sau đây?
