Cho hình thoi ABCD cạnh a và $\widehat{BAD}=60°$. Khẳng định nào sau đây đúng?

Đáp án đúng là: D

• Ta có $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}\right)=\widehat{BAD}=60°$ nên $cos\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}\right)=\frac{1}{2}>0$ 

Do đó $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}>0$, phương án A sai.

• Do ABCD là hình thoi nên $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$

Do đó $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}>0$, phương án B sai.

• ABCD là hình thoi nên AC vuông góc với BD.

Do đó $\overrightarrow{BD}.\overrightarrow{AC}=0$, phương án C sai.

• Lấy điểm E sao cho $\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{AB}$

Khi đó

$\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CA}\right)=\left(\overrightarrow{CE},\overrightarrow{CA}\right)=\widehat{ACE}=180°-\widehat{ACD}$

Mà ABCD là hình thoi nên CA là tia phân giác góc BCD

Do đó $\widehat{ACD}=\frac{1}{2}\widehat{BCD}=\frac{1}{2}.60°=30°$.

Suy ra $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CA}\right)=180°-\widehat{ACD}=180°-30°=150°$

Nên $cos\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CA}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}<0$

Do đó $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CA}<0$, phương án D đúng.

Vậy ta chọn phương án D.