Cho hình lập phương có cạnh bằng 1. Diện tích mặt cầu đi qua các đỉnh của hình lập phương bằng:

Đáp án đúng: B

*Lời giải:

Bán kính của mặt cầu là

$R=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow S=4\pi R^2=4\pi .\frac{3}{4}=3\pi$

*Phương pháp giải:

+ tính bán kính mặt cầu trước

- áp dụng công thức tính S mặt cầu: $S=4\pi r^2$.

*Lý thuyến cần nắm và dạng bài toán về mặt cầu:

Công thức tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu.

- Mặt cầu bán kính r có diện tích là: $S=4\pi r^2$.

- Khối cầu bán kính r có thể tích là: $V=\frac{4}{3}\pi r^3$.

- Chú ý:

a) Diện tích S của mặt cầu bán kính r bằng bốn lần diện tích hình tròn lớn của mặt cầu đó.

b) Thể tích V của khối cầu bán kính r bằng thể tích khối chóp có diện tích đáy bằng diện tích mặt cầu và có chiều cao bằng bán kính của khối cầu đó.

Các dạng bài tập và phương pháp giải.

Dạng 1: Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

- Xác định trục d của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy (d là đường thẳng vuông góc với đáy tại tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy).

- Xác định mặt phẳng trung trực (P) của một cạnh bên (hoặc trục ∆ của đường tròn ngoại tiếp một đa giác của mặt bên).

- Giao điểm I của (P) và d (hoặc của ∆ và d) là tâm mặt cầu ngoại tiếp.

- Kết luận: I là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp.

Dạng 1.1: Hình chóp có các điểm cùng nhìn một cạnh của hình chóp dưới một góc vuông.

+) Hình chóp tam giác:

A, B cùng nhìn SC dưới một góc vuông

Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là trung điểm I của SC

Bán kính là: $R=\frac{SC}{2}$

+) Hình chóp tứ giác

A, B, D cùng nhìn SC dưới một góc vuông

Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là trung điểm J của SC

Bán kính mặt cầu là: $R=\frac{SC}{2}$

Dạng 1.2: Hình chóp có cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy

Phương pháp tự luận:

 

Cho hình chóp $S.A_1{A}_2\mathrm{...}{A}_n$ có cạnh bên $S{A}_1\perp \left(A_1{A}_2\mathrm{...}{A}_n\right)$ và đáy $A_1{A}_2\mathrm{...}{A}_n$ nội tiếp được trong đường tròn tâm O. Tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.A_1{A}_2\mathrm{...}{A}_n$được xác định như sau:

- Từ tâm O ngoại tiếp của đường tròn đáy, ta vẽ đường thẳng d vuông góc với mp $\left(A_1{A}_2\mathrm{...}{A}_n\right)$ tại O.

- Trong mp $(d,S{A}_1)$ ta dựng đường trung trực ∆ của cạnh $S{A}_1$, cắt $S{A}_1$tại M, cắt d tại I.

Suy ra I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp và bán kính $R=I{A}_1=I{A}_2=\mathrm{...}=I{A}_n=IS$

- Tìm bán kính:

Có $MIO{A}_1$ là hình chữ nhật

Xét tam giác $M{A}_{1}I$ vuông tại M có:

$R=A_{1}I=\sqrt{M{I}^2+M{A_1}^2}=\sqrt{A_1{O}^2+{\left(\frac{S{A}_1}{2}\right)}^2}$

Phương pháp trắc nghiệm:

Gọi h là chiều cao hình chóp và $R_d$ là bán kính của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy thì bán kính mặt cầu là: $R=\sqrt{{R_d}^2+{\left(\frac{h}{2}\right)}^2}$

Dạng 1.4: Hình chóp có mặt bên vuông góc với mặt phẳng đáy

Gọi h là chiều cao hình chóp và $R_b,R_d$ là bán kính của đường tròn ngoại tiếp mặt bên, mặt đáy và $\partial$ là độ dài cạnh chung của mặt bên vuông góc với đáy thì bán kính mặt cầu là:

$R=\sqrt{{R_b}^2+{R_d}^2-{\left(\frac{\partial }{2}\right)}^2}$

Dạng 2: Mặt cầu nội tiếp khối đa diện

 Nếu đặt V là thể tích khối chóp và $S_{tp}$ là tổng diện tích mặt đáy và các mặt bên của chóp thì bán kính r của mặt cầu nội tiếp khối chóp: $r=\frac{3V}{S_{tp}}$

Mặt cầu nội tiếp hình lăng trụ đứng tam giác, hình lập phương

- Hình cầu nội tiếp hình lập phương cạnh a, bán kính $r=\frac{a}{2}$

- Đường cao của hình lăng trụ bằng đường kính của hình cầu nội tiếp.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết

Lý thuyết Mặt cầu (mới 2024 + Bài Tập) – Toán 12 

TOP 40 câu Trắc nghiệm Mặt cầu (có đáp án 2024) - Toán 12 

Trắc nghiệm Mặt cầu có đáp án (Vận dụng)