Cho hình lập phương $ABCD.A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ có cạnh bằng 1. Hai điểm M, N lần lượt thay đổi trên các đoạn $A{B}_1$ và $B{C}_1$ sao cho MN luôn tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc 60° (tham khảo hình vẽ). Giá trị bé nhất của đoạn MN là

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B; AB = BC = 1, AD = 2. Các mặt chéo (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt đáy (ABCD). Biết góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) bằng 60° (tham khảo hình vẽ bên). Khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SAB) là

Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1;-3;2). Gọi M, N, P lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên trục Ox, Oy, Oz. Phương trình mặt phẳng (MNP) là

Cho hàm số $y=a{x}^4+b{x}^2+c\left(a\ne 0\right)$ có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây đúng

Cho hàm số bậc hai $y=f\left(x\right)=x^4-5x^2+4$ có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ và trục hoành (miền phẳng được tô đậm trên hình vẽ). Mệnh đề nào sau đây sai?

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $d:\frac{x-2}{1}=\frac{y-4}{2}=\frac{z-5}{2}$ và mặt phẳng $\left(P\right):2x+z-5=0$. Đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P), cắt và vuông góc với đường thẳng d có phương trình là

Cho hình lục giác đều ABCDEF có cạnh bằng 2 (tham khảo hình vẽ). Quay lục giác xung quanh đường chéo AD ta được một khối tròn xoay. Thể tích khối tròn xoay đó là

Cho khối lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, BC = 2a, A'B vuông góc với mặt phẳng (ABC) và góc giữa A'C và mặt phẳng (ABC) bằng 30° (tham khảo hình vẽ bên). Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C'.

Hàm số $f\left(x\right)=2^{3x-1}$ có đạo hàm

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có đồ thị $\left(C\right)$ như hình vẽ. Tọa độ điểm cực tiểu của $\left(C\right)$ là

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;1;3), B(5;2;-1) và hai điểm M, N thay đổi trên mặt phẳng (Oxy) sao cho điểm I(1;2;0) luôn là trung điểm của MN. Khi biểu thức $P=M{A}^2+2N{B}^2+\overline{MA}.\overline{NB}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính $T=2x_M-4x_N+7y_M-y_N$.

Số cách sắp xếp 5 học sinh thành một hàng dọc là?

Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình lập phương có cạnh bằng a.

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có bảng biến thiên như hình vẽ bên

Hàm số $y=f\left(x\right)$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Trong không gian Oxyz, cho hai véc tơ $\overrightarrow{a}=\left(-4;5;-3\right)$ và $\overrightarrow{b}=\left(2;-2;3\right)$. Véc tơ $\overrightarrow{x}=\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}$ có tọa độ là

Tập xác định của hàm số $y={\left(x^2-4x+3\right)}^{\pi }$ là