Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có AB = AD = 2a, AA' = 4a. Lấy M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AA’, BB’,CC, DD’. Biết hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' nội tiếp khối trụ (T) và lăng trụ ABCD.MNPQ nội tiếp mặt cầu (C). Tỉ số thể tích $\frac{V_{(T\text{'})}}{V_{\left(C\right)}}$ giữa khối cầu và khối trụ là

Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(0;1;1), B(3;0;-1), C(0;21;-19) và mặt cầu $\left(S\right): {(x-1)}^2+{(y-1)}^2+{(z-1)}^2=1$ Điểm M(a;b;c) thuộc mặt cầu (S) sao cho biểu thức $T=3M{A}^2+2M{B}^2+M{C}^2$ đạt giá trị nhỏ nhật. Tính tổng a + b + c (THPT Hậu Lộc, Thanh Hóa).

Biết giá trị của tích phân ${\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}\ln \left(\frac{{(1+\sin x)}^{1+cosx}}{1+cosx}\right)dx=a\ln 2+b$; a, b là các số hữu tỉ. Khi đó $a^3+b^2$ bằng là

Số nghiệm thuộc khoảng $(0;\mathrm{\pi })$ của phương trình. $\sqrt{\tan x+\sin x}+\sqrt{\tan x-\sin x}=\sqrt{3\tan x}$ là

Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A'B'C'D' có cạnh đáy bằng 2a. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A'BC) bằng $a\sqrt{3 }$ . Thể tích khối lăng trụ là.

Cho hàm $y=f\left(x\right)$ thỏa mãn xy'=y(ylnx-1) . Khi đó f(x) bằng.

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm là $f\text{'}\left(x\right)={(x-1)}^2(x+2)(3-x)$ . Khi đó số điểm cực trị hàm số là

Cho khối lăng trụ tam giác $ABC.A_1{B}_1{C}_1$  có đáy là tam giác đều cạnh 2a, điểm $A_1$ cách đều 3 điểm  A, B, C. Cạnh bên $A{A}_1$ tạo với mặt phẳng đáy một góc . Thể tích khối trụ $ABC.A_1{B}_1{C}_1$ bằng $2\sqrt{3}{a}^3$. Giá trị của $\alpha$ là.

Cho hình nón có độ dài đường cao là $a\sqrt{3}$, bán kính đáy là a. Số đo của góc ở đỉnh là

Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z trên mặt phẳng tọa độ thỏa $\left|z-2i\right|<5$ là

Cho hàm số $y=\left|x\right|$ có đồ thị (C). Chọn khẳng định sai

Hàm số $y=e^x$ có đồ thị (C). Chọn khẳng định sai

Cho hàm số $y=x^4-2m^2{x}^2+1$(1). Các giá trị m để đồ thị hàm số (1) có 3 điểm cực trị A, B, C và diện tích tam giác ABC bằng 1

Đồ thị hàm $y=x^4-2x^2+c$ có đồ thị như hình bên khi đó

Cho bất phương trình $9^x+(m-1)3^x+m>0 \left(1\right)$ . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình (1) nghiệm đúng $\forall x>1$

Đạo hàm của hàm số $y=\frac{x+1}{9^x}$